Esercizi insiemistica.

[_GaS_11]

A - Se $BsubA$, dimostrare che per un qualunque insieme $C$ si ha $BuuCsubAuuC$ e $BnnCsubAnnC$.
B - Dimostrare che $Auu(BnnC)=(AuuB)nn(AuuC)$.

A - $BsubA$, allora $x\inB=>x\inA$.
$BuuC={x:x\inBvvx\inC}=>{x:x\inAvvx\inC}=AuuC$.
Così: $((x\inBvvx\inC)=>(x\inAvvx\inC))=>(BuuCsubAuuC)$. Per l'intersezione è analogo.
B - Sia $x\in(AuuB)nn(AuuC)$. $x\in(AuuB)^^x\in(AuuC)$.
Quindi: $x\inAvv(x\inB^^x\inC)$.
Se $x\inA=>x\inAuu(BnnC)$.
Se $x\inB^^x\inC=>x\in(BnnC)uuA$.
Quindi: $(x\in(AuuB)nn(A^^C))=>(x\inAuu(BnnC))$. Da cui: $Auu(BnnC)supe(AuuB)nn(AuuC)$.
Ponendo $x\inAuu(BnnC)$ si procede analogamente, ottenendo l'inclusione inversa, da cui l'uguaglianza.
Sono interessato alla validità del procedimento.

[adaBTTLS1]

Il ragionamento mi pare corretto, a parte qualche simbolo:
non capisco $x in vv (...)$ al quinto rigo;
inoltre l'implicazione del secondo rigo non mi sembra formalmente corretta: nel terzo rigo è OK, ma non mi pare che si possa usare tra due insiemi.
ciao

[_GaS_11]

Al quinto rigo modifico: ho riportato male, va omesso $x\in$.
Secondo rigo: intendevo dire che siccome $ x\inB=>x\inA $, allora se abbiamo $BuuC={x:x\inBvvx\inC}$, abbiamo di conseguenza: $ {x:x\inAvvx\inC}=AuuC $. Ovvero, se è vero uno è vero anche l'altro.
Ringrazio.