Esercizi di algebra.. stress!
Ciao ragazzi!
Il prof ci ha assegnato alcuni esercizi da consegnare entro domani.. ma sinceramente non capisco diverse cose e penso che non si siano proprio fatti in classe esempi di questo tipo, ne riesco a trovare la giusta teoria sui libri.. Oppure sono io proprio rintronato e non capisco più niente.. Vi scrivo le tracce e magari mi spiegate come vanno risolti.. Grazie..
1) Siano $f,g,h,k in ZZ_2 [x], f=x^7 + x^5 + x^3 + x^2 + x +1, g= x^7 + x^6 + x^2 + x +1, h= x^4 + x^2 + x + 1, k= x^5 +x^2 + 1.$
a)-Determinare il MCD di $f$ e $g$.
b)-Determinare, se esistono, $a$ e $b$ tali che $a*f + b*g = h$
c)-Determinare, se esistono, $a$ e $b$ tali che $a*f + b*g = k$
Allora per il punto a) penso di aver risolto visto che abbiamo già visto come trovare un MCD di polinomi in $ZZ_2$. Ma per i punti b) e c) in classe abbiamo visto solo 1 esempio di risoluzione di diofantee con i polinomi, e tra l'altro eravamo in $QQ$, infatti le soluzioni hanno termini fratti. Qua essendo in $ZZ_2$ come devo lavorare? Quali sono i passaggi da fare per vedere se ci sono soluzioni, e per trovare a e b nei due esercizi? (suppongo qualcosa si simile agli interi al posto dei polinomi.. però boh..
)
[size=75]Secondo me non si può dare da fare un esercizio fatto così (su cui si viene valutati) senza aver spiegato bene almeno un pò di casi differenti, un pò di esempi almeno... [/size]
Di questi invece si dovrebbe esser fatta la teoria in classe, ma non è che mi sia molto chiara.... quindi ve li scrivo lo stesso, e mi basta che mi spieghiate cosa bisogna fare e poi me la vedo da me.. non vi chiedo la soluzione completa..
2) Siano $a,b in RR$. Definiamo $a prop b = root(3)(a^3 + b^3), *$ il prodotto usuale di $RR$. (il simbolo tra a e b nel testo sarebbe la somma diretta).
-Sia $RR_3 = (RR, prop, *)$. Dimostrare che è un anello commutativo.
3) Sia $G,+$ un gruppo commutativo. Sia $H$ l'insieme degli omomorfismi di $G$ in $G$.
- Definiamo in $H$ le operazioni $prop, \grad$ (dove il primo simbolo sarebbe somma diretta, e il secondo sarebbe "prodotto diretto", non so se esiste, ma in pratica è un cerchio con una X all'interno) ponendo:
$(f prop g)(x) = f(x) + g(x)$, e $(f \grad g)(x) = f(g(x))$.
Allora:
a) Dimostrare che $H$ è un anello.
b) Determinare gli elementi nel caso che $G = ZZ_2 prop ZZ_2$ e dimostrare che non è commutativo.
Qualunque aiuto è ben accetto.
Grazie in anticipo ragazzi. (prima o poi ricambierò il favore a qualche studente in difficoltà... quando ne saprò un pò di più... )
Ciao!
Il prof ci ha assegnato alcuni esercizi da consegnare entro domani.. ma sinceramente non capisco diverse cose e penso che non si siano proprio fatti in classe esempi di questo tipo, ne riesco a trovare la giusta teoria sui libri.. Oppure sono io proprio rintronato e non capisco più niente.. Vi scrivo le tracce e magari mi spiegate come vanno risolti.. Grazie..
1) Siano $f,g,h,k in ZZ_2 [x], f=x^7 + x^5 + x^3 + x^2 + x +1, g= x^7 + x^6 + x^2 + x +1, h= x^4 + x^2 + x + 1, k= x^5 +x^2 + 1.$
a)-Determinare il MCD di $f$ e $g$.
b)-Determinare, se esistono, $a$ e $b$ tali che $a*f + b*g = h$
c)-Determinare, se esistono, $a$ e $b$ tali che $a*f + b*g = k$
Allora per il punto a) penso di aver risolto visto che abbiamo già visto come trovare un MCD di polinomi in $ZZ_2$. Ma per i punti b) e c) in classe abbiamo visto solo 1 esempio di risoluzione di diofantee con i polinomi, e tra l'altro eravamo in $QQ$, infatti le soluzioni hanno termini fratti. Qua essendo in $ZZ_2$ come devo lavorare? Quali sono i passaggi da fare per vedere se ci sono soluzioni, e per trovare a e b nei due esercizi? (suppongo qualcosa si simile agli interi al posto dei polinomi.. però boh..
) [size=75]Secondo me non si può dare da fare un esercizio fatto così (su cui si viene valutati) senza aver spiegato bene almeno un pò di casi differenti, un pò di esempi almeno... [/size]
Di questi invece si dovrebbe esser fatta la teoria in classe, ma non è che mi sia molto chiara.... quindi ve li scrivo lo stesso, e mi basta che mi spieghiate cosa bisogna fare e poi me la vedo da me.. non vi chiedo la soluzione completa..
2) Siano $a,b in RR$. Definiamo $a prop b = root(3)(a^3 + b^3), *$ il prodotto usuale di $RR$. (il simbolo tra a e b nel testo sarebbe la somma diretta).
-Sia $RR_3 = (RR, prop, *)$. Dimostrare che è un anello commutativo.
3) Sia $G,+$ un gruppo commutativo. Sia $H$ l'insieme degli omomorfismi di $G$ in $G$.
- Definiamo in $H$ le operazioni $prop, \grad$ (dove il primo simbolo sarebbe somma diretta, e il secondo sarebbe "prodotto diretto", non so se esiste, ma in pratica è un cerchio con una X all'interno) ponendo:
$(f prop g)(x) = f(x) + g(x)$, e $(f \grad g)(x) = f(g(x))$.
Allora:
a) Dimostrare che $H$ è un anello.
b) Determinare gli elementi nel caso che $G = ZZ_2 prop ZZ_2$ e dimostrare che non è commutativo.
Qualunque aiuto è ben accetto.
Grazie in anticipo ragazzi. (prima o poi ricambierò il favore a qualche studente in difficoltà... quando ne saprò un pò di più...
)Ciao!
Risposte
abbiamo avuto una proroga facoltativa sulla consegna.. quindi ho più tempo.. nessuno mi aiuta? 
1) non capisco quali sono le condizioni su $a$ e $b$.
Se $a,b in ZZ_2[x]$ allora puoi fare così:
sai che $MCD(f,g)//f$ e $MCD(f,g)//g$
Quindi se esistono sti $a,b in ZZ_2[x]$ si ha che $MCD(f,g)//h$
Quindi se il $MCD(f,g)$ non divide $h$ non esistono sti $a,b$.
Invece se $MCD(f.g)*c=h$ potresti usare l'identità di Bezout per ottenere (moltiplicando ambo i membri per $c$) l'uguaglianza voluta.
L'ho inventato da me, penso sia corretto.
2) devi fare una marea di conti.. dov'è il problema concettuale?
Se $a,b in ZZ_2[x]$ allora puoi fare così:
sai che $MCD(f,g)//f$ e $MCD(f,g)//g$
Quindi se esistono sti $a,b in ZZ_2[x]$ si ha che $MCD(f,g)//h$
Quindi se il $MCD(f,g)$ non divide $h$ non esistono sti $a,b$.
Invece se $MCD(f.g)*c=h$ potresti usare l'identità di Bezout per ottenere (moltiplicando ambo i membri per $c$) l'uguaglianza voluta.
L'ho inventato da me, penso sia corretto.
2) devi fare una marea di conti.. dov'è il problema concettuale?
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