Esercizi di Algebra
Mi sto esercitando in Algebra e ho iniziato con questi esercizi:
Per quanto riguarda il #2:
Come posso dimostrare senza calcolare le immagini che e' iniettiva e suriettiva e calcolare l'inversa?
Cioe' ogni classe di \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16} \) viene corrisposta \(\displaystyle [7][x] \) e ho capito che
e' iniettiva ma l'ho verificato calcolandomi le rispettive immagini...
giuro che non riesco a capire, come posso dedurre che sia iniettiva o suriettiva dalle "proprieta" della classe di resto 7?
Per quanto riguarda il #3:
A non e' una partizione di X, poiche' l'unione degli elementi appartenenti ad A non danno X e ci sono due elementi la cui intersezione non e' nulla, quindi non sono distinti ovvero: \(\displaystyle {1, 3, 5} \bigcap {1,7,8} = {1} \).
Mentre la seconda e' una partizione, poiche' gli elementi sono distinti a due a due e l'unione di tutti gli elementi da X.
Per il resto mi viene facile verificare la relazione d'ordina in X e la sua totalita' e gli altri quesiti.
Per quanto riguarda il #2:
Come posso dimostrare senza calcolare le immagini che e' iniettiva e suriettiva e calcolare l'inversa?
Cioe' ogni classe di \(\displaystyle \mathbb{Z}_{16} \) viene corrisposta \(\displaystyle [7][x] \) e ho capito che
e' iniettiva ma l'ho verificato calcolandomi le rispettive immagini...
giuro che non riesco a capire, come posso dedurre che sia iniettiva o suriettiva dalle "proprieta" della classe di resto 7?Per quanto riguarda il #3:
A non e' una partizione di X, poiche' l'unione degli elementi appartenenti ad A non danno X e ci sono due elementi la cui intersezione non e' nulla, quindi non sono distinti ovvero: \(\displaystyle {1, 3, 5} \bigcap {1,7,8} = {1} \).
Mentre la seconda e' una partizione, poiche' gli elementi sono distinti a due a due e l'unione di tutti gli elementi da X.
Per il resto mi viene facile verificare la relazione d'ordina in X e la sua totalita' e gli altri quesiti.
Risposte
Piccola idea per il numero 2.
Per vedere che è iniettiva fai vedere che il $kerf$ è banale. Infatti $f(x)=0 \hArr 7x \equiv 0 mod 16$. Dal fatto che $(16,7)=1$ hai che $x \equiv 0 mod 16$. da cui $x$ è la classe di $0$. Cioè $f$ è iniettiva.
Inoltre in un insieme finito $f$ è iniettiva se e solo se è surgettiva e quindi la tesi.
Oppure se conosci il teorema fondamentale di isomorfismi puoi concludere osservando che $Imf \cong ZZ_(16)$
Che dici, può andare?
Per vedere che è iniettiva fai vedere che il $kerf$ è banale. Infatti $f(x)=0 \hArr 7x \equiv 0 mod 16$. Dal fatto che $(16,7)=1$ hai che $x \equiv 0 mod 16$. da cui $x$ è la classe di $0$. Cioè $f$ è iniettiva.
Inoltre in un insieme finito $f$ è iniettiva se e solo se è surgettiva e quindi la tesi.
Oppure se conosci il teorema fondamentale di isomorfismi puoi concludere osservando che $Imf \cong ZZ_(16)$
Che dici, può andare?
Rispondo al primo punto, sperando di non dire corbellerie
allora tu hai
$\phi : ZZ_16 -> ZZ_16 $ definita da $AA x in ZZ, f([x]_16)=[7x]_16$
ti chiede di dire se $\phi$ è ingettiva.
Deve risultare che
$\phi([x]_16) = \phi([y]_16)=> [x]_16=[y]_16$ <-- dalla definizione.
allora, verifichiamo
$\phi([x]_16) = \phi([y]_16)=> [7x]_16=[7y]_16 => 7x-=7y(mod16)$
Ora poiché $(16,7)=1 , EE 7^-1 in ZZ_16 : 7*7^-1=1$
pertanto, moltiplicando ambo i membri
$7*7^-1x-=7*7^-1y(mod 16) => x-=y(mod16)=>[x]_16=[y]_16$ <-- f è iniettiva.
Caratterizziamo ora $m in ZZ$ tali che
$\phi([x]_16) =[mx]_16$ è biettiva.
Allora, da come puoi notare sopra, con un ragionamento analogo, giungi a dire che $\phi$ iniettiva $<=> (m,16)=1$.
Nota ora che è un'applicazione tra insiemi equipotenti, quindi.
$\phi$ iniettiva $<=> $ suriettiva $<=> (m,16)=1$.
Dunque, da quello che mi risulta, a meno di non dire grosse cavolate.
$T = { m in ZZ | (m, 16)=1 } $ <-- se è errato , qualcuno mi corregga.
Quindi, è vero che $3m in T? $ necessariamente? dovrei pensarci.
Ad occhio direi che 3 e m sono coprimi con 16 allora anche 3*m è coprimo con 16.
Per la chiusura rifletti, è vero che la somma\prodotto di due numeri coprimi con sedici è un numero coprimo con sedici ?
allora tu hai
$\phi : ZZ_16 -> ZZ_16 $ definita da $AA x in ZZ, f([x]_16)=[7x]_16$
ti chiede di dire se $\phi$ è ingettiva.
Deve risultare che
$\phi([x]_16) = \phi([y]_16)=> [x]_16=[y]_16$ <-- dalla definizione.
allora, verifichiamo
$\phi([x]_16) = \phi([y]_16)=> [7x]_16=[7y]_16 => 7x-=7y(mod16)$
Ora poiché $(16,7)=1 , EE 7^-1 in ZZ_16 : 7*7^-1=1$
pertanto, moltiplicando ambo i membri
$7*7^-1x-=7*7^-1y(mod 16) => x-=y(mod16)=>[x]_16=[y]_16$ <-- f è iniettiva.
Caratterizziamo ora $m in ZZ$ tali che
$\phi([x]_16) =[mx]_16$ è biettiva.
Allora, da come puoi notare sopra, con un ragionamento analogo, giungi a dire che $\phi$ iniettiva $<=> (m,16)=1$.
Nota ora che è un'applicazione tra insiemi equipotenti, quindi.
$\phi$ iniettiva $<=> $ suriettiva $<=> (m,16)=1$.
Dunque, da quello che mi risulta, a meno di non dire grosse cavolate.
$T = { m in ZZ | (m, 16)=1 } $ <-- se è errato , qualcuno mi corregga.
Quindi, è vero che $3m in T? $ necessariamente? dovrei pensarci.
Ad occhio direi che 3 e m sono coprimi con 16 allora anche 3*m è coprimo con 16.
Per la chiusura rifletti, è vero che la somma\prodotto di due numeri coprimi con sedici è un numero coprimo con sedici ?
Vi ringrazio. Ho risolto l'esercizio in entrambi i modi 
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