Esercizi di Algebra.
Sono qui per postare un paio di esercizi che mi sono rimasti ancora in dubbio su come svolgerli. In verità ce ne sono altri, anche interessanti, che vorrei postare magari voleste dilettarvi nello svolgerli. Cosa che farò anche io appena avrò tempo, ovviamente suggeriti dal nostro professore... Non pensiate che la difficoltà sia moltissima, visto che siamo ancora agli inizi del corso!
Ok, abbiamo i seguenti:
1] Sia G un gruppo. Dimostrare che un sottogruppo normale di G è unione disgiunta di classi di coniugio di G.
(l'idea alla base dovrebbe essere quella di muoversi con le azioni via coniugio da G in sè stesso. Sapendo anche che X (l'insieme su cui agisce che in questo caso è G stesso) è unione disgiunta di tutte le classi di coniugio che andiamo ad avere (questo è dimostrabile), dovremmo arrivare al fatto che un suo sottogruppo normale lo sia. Come posso sfruttare la normalità?)
2] Sia $n >= 1$, sia H un sottogruppo transitivo, cioè tale che l'azione di H ha un'unica orbita sull'insieme ${1,2....,n}$. Allora dimostrare che:
A) $n$ divide la cardinalità di H. (come imposto il problema con l'equazione delle orbite e/o Burnside?)
B) H contiene un elemento senza punti fissi. (qui suggerisce di usare la formula di Burnside, come?)
Potete anche suggerirmi e basta, non chiedo delle soluzioni ! A meno che proprio non finisca male... ahah xD
Esercizio interessante:
Sia $G$ un gruppo finito, con la proprietà che il sottogruppo dei commutatori $[G,G]$ è contenuto nel centro $Z(G)$ :
Dimostrare che se la cardinalità del centro è coprima all'indice $[G : Z(G)]$ allora $G$ è abeliano.
Ok, abbiamo i seguenti:
1] Sia G un gruppo. Dimostrare che un sottogruppo normale di G è unione disgiunta di classi di coniugio di G.
(l'idea alla base dovrebbe essere quella di muoversi con le azioni via coniugio da G in sè stesso. Sapendo anche che X (l'insieme su cui agisce che in questo caso è G stesso) è unione disgiunta di tutte le classi di coniugio che andiamo ad avere (questo è dimostrabile), dovremmo arrivare al fatto che un suo sottogruppo normale lo sia. Come posso sfruttare la normalità?)
2] Sia $n >= 1$, sia H un sottogruppo transitivo, cioè tale che l'azione di H ha un'unica orbita sull'insieme ${1,2....,n}$. Allora dimostrare che:
A) $n$ divide la cardinalità di H. (come imposto il problema con l'equazione delle orbite e/o Burnside?)
B) H contiene un elemento senza punti fissi. (qui suggerisce di usare la formula di Burnside, come?)
Potete anche suggerirmi e basta, non chiedo delle soluzioni ! A meno che proprio non finisca male... ahah xD
Esercizio interessante:
Sia $G$ un gruppo finito, con la proprietà che il sottogruppo dei commutatori $[G,G]$ è contenuto nel centro $Z(G)$ :
Dimostrare che se la cardinalità del centro è coprima all'indice $[G : Z(G)]$ allora $G$ è abeliano.
Risposte
"Simonixx":
1] Sia G un gruppo. Dimostrare che un sottogruppo normale di G è unione disgiunta di classi di coniugio di G.
(l'idea alla base dovrebbe essere quella di muoversi con le azioni via coniugio da G in sè stesso. Sapendo anche che X (l'insieme su cui agisce che in questo caso è G stesso) è unione disgiunta di tutte le classi di coniugio che andiamo ad avere (questo è dimostrabile), dovremmo arrivare al fatto che un suo sottogruppo normale lo sia. Come posso sfruttare la normalità?)
La definizione di sottogruppo normale si può scrivere anche come: \(\displaystyle H \) è normale se e solo se \(\displaystyle xHx^{-1} = H \). Quindi ora prendi un elemento di \(\displaystyle H \) e vedi cosa puoi dire sulla sua classe di coniugio. Il resto deriva dal fatto che le classi di coniugio formano una partizione di \(\displaystyle G \).
"Simonixx":
2] Sia $n >= 1$, sia H un sottogruppo transitivo, cioè tale che l'azione di H ha un'unica orbita sull'insieme ${1,2....,n}$. Allora dimostrare che:
A) $n$ divide la cardinalità di H. (come imposto il problema con l'equazione delle orbite e/o Burnside?)
B) H contiene un elemento senza punti fissi. (qui suggerisce di usare la formula di Burnside, come?)
A) Un sottogruppo è un gruppo e l'azione di un sottogruppo di un gruppo può essere vista come l'azione di un gruppo isomorfo al sottogruppo. L'orbita ha ovviamente cardinalità \(\displaystyle n \). Cosa puoi quindi dire sulla cardinalità del sottogruppo stabilizzatore di un qualsiasi elemento di $[n]$?
B) Il lemma di burnside afferma che \(\displaystyle 1 = |H|^{-1} \sum_{g\in H} |X^g| \) dove con \(\displaystyle X^g \) intendo gli elementi fissati da \(\displaystyle g \) (se usi altre notazioni penso tu possa mettere a posto facilmente la formula). Senza dubbio \(\displaystyle |X^{1_H}| = |X| = n \). Cosa puoi quindi dire sulle cardinalità degli altri \(\displaystyle X^g \) ?
"Simonixx":
Esercizio interessante:
Sia $G$ un gruppo finito, con la proprietà che il sottogruppo dei commutatori $[G,G]$ è contenuto nel centro $Z(G)$ :
Dimostrare che se la cardinalità del centro è coprima all'indice $[G : Z(G)]$ allora $G$ è abeliano.
Su questo ci devo pensare.
Mi metto subito al lavoro! Grazie.
p.s.: le notazioni vanno benissimo ^^
p.s.: le notazioni vanno benissimo ^^
Per l'esercizio sull'unione disgiunta ho risolto così: ho dimostrato che sicuramente H normale implica che gli elementi di un'orbita di un elemento di H sono comunque in H. Quindi le orbite di elementi di H sono contenute in H. A questo punto posso dire che l'unione di queste orbite dà sicuramente H. Poi ho dimostrato che sono disgiunte partendo dal fatto che se fossero uguali allora le classi sono le stesse, e supponendo per ipotesi che siano esse invece differenti. Alla fine giungo alla soluzione. (probabilmente si faceva in maniera più semplice).
Per l'altro esercizio, il 2A ho trovato questo: se l'orbita è una sola, allora qualsiasi elemento ha come orbita quell'orbita! Ma l'orbita ha cardinalità pari a $n$. Io so che la cardinalità del gruppo è pari al prodotto delle cardinalità tra stabilizzatore e orbita. Dunque la cardinalità dell'orbita divide la cardinalità del gruppo, quindi la tesi.
Va bene? (se sì, sono stato veramente uno scemo a chiederlo visto che era così semplice! xD)
Per il 2B allora: Ancora non ci sto... non riesco a capire la caratteristica che può avere uno degli insiemi dei punti fissati da H, quindi pensarne uno che abbia cardinalità pari a 0...
Per l'altro esercizio, il 2A ho trovato questo: se l'orbita è una sola, allora qualsiasi elemento ha come orbita quell'orbita! Ma l'orbita ha cardinalità pari a $n$. Io so che la cardinalità del gruppo è pari al prodotto delle cardinalità tra stabilizzatore e orbita. Dunque la cardinalità dell'orbita divide la cardinalità del gruppo, quindi la tesi.
Va bene? (se sì, sono stato veramente uno scemo a chiederlo visto che era così semplice! xD)
Per il 2B allora: Ancora non ci sto... non riesco a capire la caratteristica che può avere uno degli insiemi dei punti fissati da H, quindi pensarne uno che abbia cardinalità pari a 0...
"Simonixx":
Per l'esercizio sull'unione disgiunta ho risolto così: ho dimostrato che sicuramente H normale implica che gli elementi di un'orbita di un elemento di H sono comunque in H. Quindi le orbite di elementi di H sono contenute in H. A questo punto posso dire che l'unione di queste orbite dà sicuramente H. Poi ho dimostrato che sono disgiunte partendo dal fatto che se fossero uguali allora le classi sono le stesse, e supponendo per ipotesi che siano esse invece differenti. Alla fine giungo alla soluzione. (probabilmente si faceva in maniera più semplice).
Per l'altro esercizio, il 2A ho trovato questo: se l'orbita è una sola, allora qualsiasi elemento ha come orbita quell'orbita! Ma l'orbita ha cardinalità pari a $n$. Io so che la cardinalità del gruppo è pari al prodotto delle cardinalità tra stabilizzatore e orbita. Dunque la cardinalità dell'orbita divide la cardinalità del gruppo, quindi la tesi.
Va bene? (se sì, sono stato veramente uno scemo a chiederlo visto che era così semplice! xD)
Per il 2B allora: Ancora non ci sto... non riesco a capire la caratteristica che può avere uno degli insiemi dei punti fissati da H, quindi pensarne uno che abbia cardinalità pari a 0...
Per il primo direi che il controllo del fatto che erano disgiunte è inutile perché ti trovi di fronte ad una partizione/relazione di equivalenza (quindi in un certo senso l'hai ricontrollato).
Per il 2A si, è così. Ti bastava farlo per un solo elemento.
Per il 2B supponi per assurdo che non ci siano punti fissi allora \(\displaystyle X^g\ge 1\) per ogni $g$ allora hai che \(\displaystyle 1 = {|H|}^{-1} \left(n + \sum_{g\ne 1} {|X^g|}\right) \ge {|H|}^{-1} \left({|H|}-1 + n\right) > 1\) e quindi hai l'assurdo.
Ottimo. Gli esercizi che adesso propongo sono sostanzialmente simili. Ovvero, imboccata la strategia adeguata si dovrebbero allo stesso modo...
1] Sia dato un cubo. Sia possibile colorare di un colore a piacere fra tre differenti (A,B,C) le sei facce del cubo. Le combinazioni del cubo possibili, a meno di rotazioni del cubo (nel senso che, se io ho ad esempio un cubo con una faccia colorata di A e cinque di B, allora di questo tipo essenzialmente ve ne è uno solo, non 6). Calcolare il numero di cubi possibili.
- Allora le combinazioni a meno di rotazioni sono 729, ovvero $3^6$. So che le rotazioni preservanti il cubo è un gruppo isomorfo a $S_4$, il gruppo simmetrico con 4 elementi. Adesso come vado avanti? (immagino ci sia bisogno di applicare qualcosa sulla teoria delle azioni di gruppi... o la formula di Burnside... se fosse di calcolare tutte le "situazioni essenzialmente diverse" una alla volta non mi pare che sia una verifica adeguata, nè che sia poi tanto utile...) -
2] Il problema è identico, ma su un tetraedro. Il suggerimento è di usare il fatto che le rotazioni che preservano un tetraedro siano su un gruppo isomorfo ad $A_4$, il gruppo delle permutazioni di segno pari di $S_4$.
- Se so come fare il primo, non dovrei avere problemi con questo immagino. -
3] Il problema è più generico ma si tratta di collane di perle: le perle possono avere $n$ colori diversi, dove $n$ è al più $m$, il numero di perle. Quante collane è possibile costruire?
- E questo? D:
Grazie della lettura! (e delle risposte?)
1] Sia dato un cubo. Sia possibile colorare di un colore a piacere fra tre differenti (A,B,C) le sei facce del cubo. Le combinazioni del cubo possibili, a meno di rotazioni del cubo (nel senso che, se io ho ad esempio un cubo con una faccia colorata di A e cinque di B, allora di questo tipo essenzialmente ve ne è uno solo, non 6). Calcolare il numero di cubi possibili.
- Allora le combinazioni a meno di rotazioni sono 729, ovvero $3^6$. So che le rotazioni preservanti il cubo è un gruppo isomorfo a $S_4$, il gruppo simmetrico con 4 elementi. Adesso come vado avanti? (immagino ci sia bisogno di applicare qualcosa sulla teoria delle azioni di gruppi... o la formula di Burnside... se fosse di calcolare tutte le "situazioni essenzialmente diverse" una alla volta non mi pare che sia una verifica adeguata, nè che sia poi tanto utile...) -
2] Il problema è identico, ma su un tetraedro. Il suggerimento è di usare il fatto che le rotazioni che preservano un tetraedro siano su un gruppo isomorfo ad $A_4$, il gruppo delle permutazioni di segno pari di $S_4$.
- Se so come fare il primo, non dovrei avere problemi con questo immagino. -
3] Il problema è più generico ma si tratta di collane di perle: le perle possono avere $n$ colori diversi, dove $n$ è al più $m$, il numero di perle. Quante collane è possibile costruire?
- E questo? D:
Grazie della lettura! (e delle risposte?)
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