Esercizi di Algebra
Qualcuno riesce a darmi una mano con questi esercizi?
Al di la della corretta risoluzione mi piacerebbe capire il ragionamento che sta dietro all'esercizio e come concretamente arrivo alle soluzioni.
1) Nell'anello R = Z[√−7] trovare
a) Un ideale massimale che non sia principale
b) Un elemento che permetta due differenti fattorizzazioni in elementi irriducibili
2) In the ring S = Z[(1+√−7) / 2] ⊂ C consider the norm N(z) = zz* (z* denotes the complex conjugate) and show
that with respect to this we have a Euclidean algoritm, and hence S is a unique
factorization domain. Furthermore investigate what happens to
a) the ideal M you found above when considered as a subset of S
b) The factorization of your offending element when considered in S.
3) Sia V uno spazio vettoriale finito dimensionale V . Si identifichi End(V) con il suo duale End(V)*
via v⊗v*(u⊗u*) = v*(u)u*(v) (esteso per linearitá). Cosa accade all'identita' durante tale identificazione?
4) Si denoti con H lo spazio dei quaternioni. Mostrare che H_R ⊗ C coincide con M2(C). A cosa corrisponderá il sottospazio H− di quaterioni puramente immaginari come sottospazio complesso di H− ⊗_R C? (R = real , C = complex)
Al di la della corretta risoluzione mi piacerebbe capire il ragionamento che sta dietro all'esercizio e come concretamente arrivo alle soluzioni.
1) Nell'anello R = Z[√−7] trovare
a) Un ideale massimale che non sia principale
b) Un elemento che permetta due differenti fattorizzazioni in elementi irriducibili
2) In the ring S = Z[(1+√−7) / 2] ⊂ C consider the norm N(z) = zz* (z* denotes the complex conjugate) and show
that with respect to this we have a Euclidean algoritm, and hence S is a unique
factorization domain. Furthermore investigate what happens to
a) the ideal M you found above when considered as a subset of S
b) The factorization of your offending element when considered in S.
3) Sia V uno spazio vettoriale finito dimensionale V . Si identifichi End(V) con il suo duale End(V)*
via v⊗v*(u⊗u*) = v*(u)u*(v) (esteso per linearitá). Cosa accade all'identita' durante tale identificazione?
4) Si denoti con H lo spazio dei quaternioni. Mostrare che H_R ⊗ C coincide con M2(C). A cosa corrisponderá il sottospazio H− di quaterioni puramente immaginari come sottospazio complesso di H− ⊗_R C? (R = real , C = complex)
Risposte
Per cominciare, potresti postare qualche idea tua, qualche tentativo che hai fatto (come prescrive il regolamento).
Ad avercene di idee 
Per 1b mi era venuto in mente di usare, per esempio, $ 16 = 2^ 4$ e $16 = (3+\sqrt(-7))(3-\sqrt(-7))$ ?
e per 1a posso usare il fatto che in un PID trovare un irriducibile implica che l'ideale generato è massimale? In tal caso come giustifico che $Z(\sqrt(-7))$ è un PID (ammesso lo sia? io so che $Z(\sqrt(-1))$ lo è,vale lo stesso discorso per $Z(\sqrt(-7))$ ?
Mi rendo conto siano dubbi veramente elementari e me ne scuso, ma le mie basi di algebra sono praticamente nulle
Per 1b mi era venuto in mente di usare, per esempio, $ 16 = 2^ 4$ e $16 = (3+\sqrt(-7))(3-\sqrt(-7))$ ?
e per 1a posso usare il fatto che in un PID trovare un irriducibile implica che l'ideale generato è massimale? In tal caso come giustifico che $Z(\sqrt(-7))$ è un PID (ammesso lo sia? io so che $Z(\sqrt(-1))$ lo è,vale lo stesso discorso per $Z(\sqrt(-7))$ ?
Mi rendo conto siano dubbi veramente elementari e me ne scuso, ma le mie basi di algebra sono praticamente nulle
Bene, qualcosa hai tirato fuori, non è male. 
Non sono dubbi elementari, è che stai lavorando con strutture che, detto un po' alla buona, sono una emerita porcheria.
Eh sì, perchè quello che hai davanti, $A=ZZ[sqrt(-7)]$ non è un UFD, e quindi nemmeno un PID e tantomeno un dominio euclideo. In sostanza, non vale una cippa di quello che hai studiato, bisogna lavorare a mano e fare attenzione perchè certe cose contrastano con le nostre abitudini (per dirne una, salta appunto l'unicità della fattorizzazione in irriducibili cui siamo abituati dai tempi di $ZZ$!).
Per l'1a, sei fuori strada, purtroppo, perchè come ti ho appena detto il tuo anello non è un PID (perchè dal punto 1b deduciamo che non è nemmeno UFD). Così su due piedi non mi viene in mente un ideale da suggerirti, ci devo pensare.
Per l'1b direi che come idea ci sei, però dobbiamo ancora controllare che i fattori siano irriducibili. Anzitutto, non dovrebbe essere difficile verificare che due numeri in $A$, $a+bsqrt(-7)$, $c+dsqrt(-7)$ sono associati (i.e. differiscono per un fattore moltiplicativo invertibile) se e solo se $a=pm c$ e $b=pm d$.
Per controllare che entrambe le fattorizzazioni siano fatte con elementi irriducibili, di solito si passa alle norme: ad esempio, supponiamo che esistano $x,y \in ZZ[sqrt(-7)]$ tali che $xy=2$ ($x,y$ non devono essere banali). Allora, siccome la norma è moltiplicativa (questa è una proprietà chiave) ed è a valori in $[0,+\infty)$, hai che $N(x)N(y)=2 => N(x)=2 " e " N(y)=1$ o viceversa, il che comunque ti permette di concludere che almeno uno tra i due (o $x$ o $y$) è associato a $2$. In definitiva, hai mostrato che 2 è irriducibile.
Devi fare lo stesso per l'altra fattorizzazione. Ad occhio, mi pare non funzionare con quei numeri (16 è un quadrato), ma forse la cosa si può aggiustare facilmente considerando $1+sqrt(-7)$. Controlla bene, perchè ora purtroppo sono di fretta e non ho tempo di fare per bene i conti.
Spero però possa esserti utile lo stesso.
Buono studio
"mattia90":
Ad avercene di idee
Per 1b mi era venuto in mente di usare, per esempio, $ 16 = 2^ 4$ e $16 = (3+\sqrt(-7))(3-\sqrt(-7))$ ?
e per 1a posso usare il fatto che in un PID trovare un irriducibile implica che l'ideale generato è massimale? In tal caso come giustifico che $Z(\sqrt(-7))$ è un PID (ammesso lo sia? io so che $Z(\sqrt(-1))$ lo è,vale lo stesso discorso per $Z(\sqrt(-7))$ ?
Mi rendo conto siano dubbi veramente elementari e me ne scuso, ma le mie basi di algebra sono praticamente nulle
Non sono dubbi elementari, è che stai lavorando con strutture che, detto un po' alla buona, sono una emerita porcheria.
Eh sì, perchè quello che hai davanti, $A=ZZ[sqrt(-7)]$ non è un UFD, e quindi nemmeno un PID e tantomeno un dominio euclideo. In sostanza, non vale una cippa di quello che hai studiato, bisogna lavorare a mano e fare attenzione perchè certe cose contrastano con le nostre abitudini (per dirne una, salta appunto l'unicità della fattorizzazione in irriducibili cui siamo abituati dai tempi di $ZZ$!).
Per l'1a, sei fuori strada, purtroppo, perchè come ti ho appena detto il tuo anello non è un PID (perchè dal punto 1b deduciamo che non è nemmeno UFD). Così su due piedi non mi viene in mente un ideale da suggerirti, ci devo pensare.
Per l'1b direi che come idea ci sei, però dobbiamo ancora controllare che i fattori siano irriducibili. Anzitutto, non dovrebbe essere difficile verificare che due numeri in $A$, $a+bsqrt(-7)$, $c+dsqrt(-7)$ sono associati (i.e. differiscono per un fattore moltiplicativo invertibile) se e solo se $a=pm c$ e $b=pm d$.
Per controllare che entrambe le fattorizzazioni siano fatte con elementi irriducibili, di solito si passa alle norme: ad esempio, supponiamo che esistano $x,y \in ZZ[sqrt(-7)]$ tali che $xy=2$ ($x,y$ non devono essere banali). Allora, siccome la norma è moltiplicativa (questa è una proprietà chiave) ed è a valori in $[0,+\infty)$, hai che $N(x)N(y)=2 => N(x)=2 " e " N(y)=1$ o viceversa, il che comunque ti permette di concludere che almeno uno tra i due (o $x$ o $y$) è associato a $2$. In definitiva, hai mostrato che 2 è irriducibile.
Devi fare lo stesso per l'altra fattorizzazione. Ad occhio, mi pare non funzionare con quei numeri (16 è un quadrato), ma forse la cosa si può aggiustare facilmente considerando $1+sqrt(-7)$. Controlla bene, perchè ora purtroppo sono di fretta e non ho tempo di fare per bene i conti.
Spero però possa esserti utile lo stesso.
Buono studio
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