Esercizi di algebra
Ho creato alcuni semplici esercizi di algebra e, tanto per non sprecarli, li propongo a voi, magari vi possono essere utili come esercizio. 
Sia $G$ un gruppo finito. Dimostrare che:
1) Per ogni $a,b\in G$, l'ordine di $ab$ è uguale all'ordine di $ba$.
2) Se, per ogni $a\in G$, $a^2=1$, allora $G$ è abeliano.
3) Se il numero di elementi di $G$ è pari, allora esiste un elemento di ordine $2$.
Sia $G$ un gruppo finito. Dimostrare che:
1) Per ogni $a,b\in G$, l'ordine di $ab$ è uguale all'ordine di $ba$.
2) Se, per ogni $a\in G$, $a^2=1$, allora $G$ è abeliano.
3) Se il numero di elementi di $G$ è pari, allora esiste un elemento di ordine $2$.
Risposte
siccome il tuo teorema non è corretto, l'ho modificato, rendendolo però come una conseguenza di una definizione.....
Ho creato un altro semplice esercizio, che riguarda una costruzione molto importante.
Siano $H$ e $K$ sottoinsiemi di un gruppo $G$. Definiamo $HK={hk | h\in H \text{ e } k\in K}$.
Siano ora $H$ e $K$ due sottogruppi di un gruppo $G$. Dimostrare che $HK$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se per ogni $a\in HK$, $a^(-1)\in HK$ (in altri termini, $HK$ è un sottogruppo di $G$ sse $HK$ è chiuso per elemento inverso.)
Siano $H$ e $K$ sottoinsiemi di un gruppo $G$. Definiamo $HK={hk | h\in H \text{ e } k\in K}$.
Siano ora $H$ e $K$ due sottogruppi di un gruppo $G$. Dimostrare che $HK$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se per ogni $a\in HK$, $a^(-1)\in HK$ (in altri termini, $HK$ è un sottogruppo di $G$ sse $HK$ è chiuso per elemento inverso.)
we, in questi giorni sono stato impegnato con un esame... ma adesso sono LLLLibero!
Come al solito, probabilmente e' piu' semplice ma:
Mini-Lemma, sia $S$ un insieme non vuoto di un gruppo G. S e' sottogruppo(indico con $S <= G$) di G se e solo se $forall x,y in S$ $xy^-1 in S$
Ora, se $HK$ e' sottogruppo abbiamo subito che $a in HK -> a^-1 in HK$
viceversa:
$HK$ diverso dal vuoto, l'associativita' e' garantita perche' $H, K$ sottogruppi
Se considero un generico $kh$, il fatto che $h^-1k^-1 in HK$ implica $kh in HK$, ovvero $kh = h_{k}k_{h}$ per qualche $h_{k},k_{h}$. Allora prendo $h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^-1 = h_{1}k_{1}k_{2}^-1h_{2}^-1 = h_{1}k_{3}h_{2}$. Dato che $k_{3}h_{2} in HK$ ho $k_{3}h_{2} = h_{k_{3}}k_{h_{2}}$, da cui $h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^-1 = h_{1}h_{k_{3}}k_{h_{2}} in HK$, quindi HK e' sottogruppo per il Mini-Lemma.
sto provando a mostrare che HK e' sottogruppo se e solo se HK = KH, dovrebbe essere fattibile no?
Come al solito, probabilmente e' piu' semplice ma:
Mini-Lemma, sia $S$ un insieme non vuoto di un gruppo G. S e' sottogruppo(indico con $S <= G$) di G se e solo se $forall x,y in S$ $xy^-1 in S$
Ora, se $HK$ e' sottogruppo abbiamo subito che $a in HK -> a^-1 in HK$
viceversa:
$HK$ diverso dal vuoto, l'associativita' e' garantita perche' $H, K$ sottogruppi
Se considero un generico $kh$, il fatto che $h^-1k^-1 in HK$ implica $kh in HK$, ovvero $kh = h_{k}k_{h}$ per qualche $h_{k},k_{h}$. Allora prendo $h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^-1 = h_{1}k_{1}k_{2}^-1h_{2}^-1 = h_{1}k_{3}h_{2}$. Dato che $k_{3}h_{2} in HK$ ho $k_{3}h_{2} = h_{k_{3}}k_{h_{2}}$, da cui $h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^-1 = h_{1}h_{k_{3}}k_{h_{2}} in HK$, quindi HK e' sottogruppo per il Mini-Lemma.
sto provando a mostrare che HK e' sottogruppo se e solo se HK = KH, dovrebbe essere fattibile no?
"vl4d":
sto provando a mostrare che HK e' sottogruppo se e solo se HK = KH, dovrebbe essere fattibile no?
Non esattamente, ma non ci sei lontano. Infatti, siano $H,K$ sottogruppi di un gruppo $G$. Allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:
1) $HK$ è un sottogruppo di $G$.
2) $KH\sube HK$
3) $a\in HK$ implica $a^(-1)\in HK$.
Corollario 1: se $G$ è abeliano, $HK$ è un sottogruppo di $G$.
Corollario 2: se $H, K$ sono sottogruppi normali di $G$, $HK$ è un sottogruppo normale di $G$.
Ah, dimenticavo: la tua soluzione è giusta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo