Esercizi con numeri naturali e interi
Ragazzi spero in un vostro aiuto con questi esercizi :
1)Quanti sono i divisori (con resto nullo)del numero 100, 1 e 100 compresi?
Allora il mio ragionamento è il seguente
100 divsibile per 1 per se stesso = 2
per 5 ,per 50 ,=2
per 10 =1
In pratica il criterio di divisibilità ..
2)Dato il prodotto n=2010x2011x2012 determina quale dei seguenti interi non è divisibile per N:
-4022
-15
-18
-20
-12
Il mio ragionamento:
Criterio di divisibilità
2010= divisibile per 2 ,5,3 10
2011=divisibile per 11
2012=divisibile per 12 ,2 ,4,
E poi?
3)La somma dei primi n numeri positivi e pari è:
-2n
-n(n+1)/2
-(n-1)n
-(1+n)n
-n^2-1
Questo non lo capisco proprio..
4)Indica la soma di primi 50 numeri dispari .
Il mio ragionamento:
i numeri dispari sono 1,3,5,7,9, si ripetono in maniera costante quindi pernso che si devono calcolare da 1 a 49
la prima somma è 25 da li mi sono persa..
1)Quanti sono i divisori (con resto nullo)del numero 100, 1 e 100 compresi?
Allora il mio ragionamento è il seguente
100 divsibile per 1 per se stesso = 2
per 5 ,per 50 ,=2
per 10 =1
In pratica il criterio di divisibilità ..
2)Dato il prodotto n=2010x2011x2012 determina quale dei seguenti interi non è divisibile per N:
-4022
-15
-18
-20
-12
Il mio ragionamento:
Criterio di divisibilità
2010= divisibile per 2 ,5,3 10
2011=divisibile per 11
2012=divisibile per 12 ,2 ,4,
E poi?
3)La somma dei primi n numeri positivi e pari è:
-2n
-n(n+1)/2
-(n-1)n
-(1+n)n
-n^2-1
Questo non lo capisco proprio..
4)Indica la soma di primi 50 numeri dispari .
Il mio ragionamento:
i numeri dispari sono 1,3,5,7,9, si ripetono in maniera costante quindi pernso che si devono calcolare da 1 a 49
la prima somma è 25 da li mi sono persa..
Risposte
"brigitte":
3)La somma dei primi n numeri positivi e pari è:
-2n
-n(n+1)/2
-(n-1)n
-(1+n)n
-n^2-1
Questo non lo capisco proprio..
4)Indica la soma di primi 50 numeri dispari .
Ho visto che il 4 stava sui test del TFA dell'anno scorso (non da 1 a 50, mi sembra da 1 a 200). Comunque, hai fatto Analisi I? O, in generale, hai visto mai la seguente formula (di Gauss)
$sum_(k=1)^n k= \frac{n(n+1)}{2}$?
Per l'esercizio numero 1.
Visto che hai fatto un tentativo e memore dell'invito del moderatore Vict85, penso che ti possa aiutare (da sola infatti hai trovato alcuni divisori).
La risposta è 9. Devi prendere tutti i divosori di $100$, sia i numeri composti sia i suoi fattori primi.
In questo senso ti svelo un trucco.
Fai la scomposizione di 100 in fattori primi e si ha $100=2^2*5^2$.
Notiamo che gli esponenti dei due fattori primi ($2$ e $5$) sono rispettivamente $2$ e $2$.
Aumentiamo ognuno di questi esponenti di $1$ unità e avremo $3$ e $3$ , moltiplicando tra loro i valori ottenuti,
avremo $3*3=9$ che è proprio il numero dei divisori di $100$.
Questo trucco è applicabile per ogni naturale considerato.
Visto che hai fatto un tentativo e memore dell'invito del moderatore Vict85, penso che ti possa aiutare (da sola infatti hai trovato alcuni divisori).
La risposta è 9. Devi prendere tutti i divosori di $100$, sia i numeri composti sia i suoi fattori primi.
In questo senso ti svelo un trucco.
Fai la scomposizione di 100 in fattori primi e si ha $100=2^2*5^2$.
Notiamo che gli esponenti dei due fattori primi ($2$ e $5$) sono rispettivamente $2$ e $2$.
Aumentiamo ognuno di questi esponenti di $1$ unità e avremo $3$ e $3$ , moltiplicando tra loro i valori ottenuti,
avremo $3*3=9$ che è proprio il numero dei divisori di $100$.
Questo trucco è applicabile per ogni naturale considerato.
"brigitte":
4)Indica la soma di primi 50 numeri dispari .
Il mio ragionamento:
i numeri dispari sono 1,3,5,7,9, si ripetono in maniera costante quindi pernso che si devono calcolare da 1 a 49
la prima somma è 25 da li mi sono persa..
Beh, mi sembra che anche per quest'esercizio hai fatto un abbozzo di tentativo.
Dicendo che la somma dei primi $5$ numeri dispari, ossia (1,3,5,7,9), è $25$, dici bene però invece di enumerare tutti i numeri per poi sommarli (cosa che puoi anche fare ma che è lunghissima e ti fa perdere tempo all'aumentare dei numeri da addizionare) basta che facevi $5^2=25$
. La somma dei primi $n$ numeri dispariè uguale al quadrato del loro numero. Ovvero la somma dei primi tre numeri (1, 3, 5) è $3^2 = 9$,
la somma dei primi 10 (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) è $10^2 = 100$, e così via.
Dunque la somma dei primi 50 numeri dispari è ? (dai che è facile
)
Per il N.2 , ricorda che affinché un numero intero sia divisore di un prodotto di più numeri interi basta che almeno uno dei termini del prodotto sia divisibile per il numero dato, quindi ?
"Luca97":
La somma dei primi $n$ numeri dispari è uguale al quadrato del loro numero.
Prendendo ad esempio il risultato da me richiamato (dal quale si possono risolvere entrambi gli ultimi 2 esercizi), abbiamo che
$sum_(k=1)^n k= \frac{n(n+1)}{2}$
Per trovare quella dei dispari basta trovare quella totale meno quella dei pari ($n$ pari, si intende).
$\sum_(k=1)^n k - \sum_(k=1)^(n/2) 2k= n(n+1)/2-2\sum_(k=1)^(n/2) k= n(n+1)/2-2 (n/2 (n/2+1)/2)= n(n+1)/2-n/2 (n/2+1)$
Se sviluppo il conto ho
$n^2/2+n/2-n^2/4-n/2=n^2/4=(n/2)^2$
che è la dimostrazione di quanto dice Luca: se ci pensi, infatti, tra $1$ e $n$ ci sono $n/2$ numeri dispari.
Questo è quello che era venuto in mente a me: l'ho postato perché ho visto che comunque la risposta l'aveva data Luca (io preferivo più fartici arrivare, like forum style).
"Luca97":
Per l'esercizio numero 1.
Visto che hai fatto un tentativo e memore dell'invito del moderatore Vict85, penso che ti possa aiutare (da sola infatti hai trovato alcuni divisori).
La risposta è 9. Devi prendere tutti i divosori di $100$, sia i numeri composti sia i suoi fattori primi.
In questo senso ti svelo un trucco.
Fai la scomposizione di 100 in fattori primi e si ha $100=2^2*5^2$.
Notiamo che gli esponenti dei due fattori primi ($2$ e $5$) sono rispettivamente $2$ e $2$.
Aumentiamo ognuno di questi esponenti di $1$ unità e avremo $3$ e $3$ , moltiplicando tra loro i valori ottenuti,
avremo $3*3=9$ che è proprio il numero dei divisori di $100$.
Questo trucco è applicabile per ogni naturale considerato.
Perchè bisogna aumentare di un unità gli esponenti?
"Zero87":
[quote="brigitte"]3)La somma dei primi n numeri positivi e pari è:
-2n
-n(n+1)/2
-(n-1)n
-(1+n)n
-n^2-1
Questo non lo capisco proprio..
4)Indica la soma di primi 50 numeri dispari .
Ho visto che il 4 stava sui test del TFA dell'anno scorso (non da 1 a 50, mi sembra da 1 a 200). Comunque, hai fatto Analisi I? O, in generale, hai visto mai la seguente formula (di Gauss)
$sum_(k=1)^n k= \frac{n(n+1)}{2}$?[/quote]
Tanti anni fa al liceo !A cosa servivà?
Solo per curiosità, da dove derivano questi esercizi? Insomma, perché li stai facendo?
Detto questo mi sembra che quella formula sia piuttosto espressiva: fornisce una formula semplice per calcolare la somma di tutti gli interi da $1$ a $n$.
Detto questo mi sembra che quella formula sia piuttosto espressiva: fornisce una formula semplice per calcolare la somma di tutti gli interi da $1$ a $n$.
"brigitte":
Perchè bisogna aumentare di un unità gli esponenti?
Altrimenti sbagli la risposta
.Senza entrare troppo nelle specifico (visto che hai chiesto a Zero87, cosa serve la formula di Gauss) ti dico che serve per calcolare il numero dei divisori di un numero naturale qualsiasi e deriva dal calcolo combinatorio.
Per quanto concerne quanto chiesto a Zero87, Gauss dimostrò, con un procedimento del tutto empirico, che la somma dei primi numeri naturali è:
$S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = (n(n+1))/2$ .
Per quanto concerne l'altro input che ti ho dato, si ha che "la somma dei primi $n$ numeri naturali dispari è data dal numero $n$ al quadrato, ovvero $S(n) = n^2$, cioè è uguale all'area di un quadrato di lato $n$".
p.s. : Ad ogni modo ti aveva già risposto in modo esaustivo vict85 .
"vict85":
Detto questo mi sembra che quella formula sia piuttosto espressiva: fornisce una formula semplice per calcolare la somma di tutti gli interi da $1$ a $n$.
Lo so, ma ho mostrato come - manipolandola - si arriva alla forma della somma dei dispari da $1$ a $n$.
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