Esercizi con criteri di divisibilità
Ciao a tutti, non riesco a capire come dover svolgere questo tipo di esercizio. Mi potreste dare una mano?
Il testo dice:
Dire qual'è il resto della divisione per 12 e per 14 di $103210002100112310021200100310_13$
piu che altro mi spiazza il fatto che sia in base 13..
Il testo dice:
Dire qual'è il resto della divisione per 12 e per 14 di $103210002100112310021200100310_13$
piu che altro mi spiazza il fatto che sia in base 13..
Risposte
ok, allora pongo un altro quesito del tutto analogo. Ho lo stesso numero ma in base 7 e mi devo calcolare il resto della divisione per 8.
Quindi ho che $7\equiv-1mod8$ e alla fine dei conti dovrei ottenere $-28mod8=-4$ ma convertendo il numero dalla base 7 alla base 10 viene $3437160069360227247604672$ che $mod8=0$...stavolta cosa sbaglio?
PS: stavolta i numeri entrano tutti nella calcolatrice
Quindi ho che $7\equiv-1mod8$ e alla fine dei conti dovrei ottenere $-28mod8=-4$ ma convertendo il numero dalla base 7 alla base 10 viene $3437160069360227247604672$ che $mod8=0$...stavolta cosa sbaglio?
PS: stavolta i numeri entrano tutti nella calcolatrice
"Ariz93":
[quote="bugger"]altra cosa, adesso devo seguire lo stesso ragionemto per calcolarmi il resto della divisione per $14$ giusto?
Quindi ho $13\equiv-1mod14$ e alla fine dei conti dovrei avere $...-28mod14=0$ giusto?
esatto.[/quote]
Non direi proprio. E' vero che $13 \equiv -1$ modulo 14; ne consegue che $13^k \equiv -1$ se $k$ è dispari, mentre $13^k\equiv 1$ se $k$ è pari. Quindi non bisogna sottrarre tutte le cifre, occorre fare la somma alternata (e difatti questa faccenda della somma alternata entra in gioco in un ben noto criterio di divisibilità per 11, nell'ambito della abituale base decimale). Ho fatto i conti e, salvo probabili errori, viene comunque fuori che il numero è divisibile per 14.
Questo dovrebbe anche rispondere all'ultima domanda di bugger.
"Paolo90":
[quote="Ariz93"][quote="bugger"]altra cosa, adesso devo seguire lo stesso ragionemto per calcolarmi il resto della divisione per $14$ giusto?
Quindi ho $13\equiv-1mod14$ e alla fine dei conti dovrei avere $...-28mod14=0$ giusto?
esatto.[/quote]
Non direi proprio. E' vero che $13 \equiv -1 mod 14$; ne consegue che $13^k \equiv -1$ se $k$ è dispari, mentre $13^k \equiv 1$ se $k$ è pari. Quindi non bisogna sottrarre tutte le cifre, occorre fare la somma alternata (e difatti questa faccenda della somma alternata entra in gioco in un ben noto criterio di divisibilità per 11, nell'ambito della abituale base decimale). Ho fatto i conti e, salvo probabili errori, viene comunque fuori che il numero è divisibile per 14.
Questo dovrebbe anche rispondere all'ultima domanda di bugger.[/quote]
Ah! non ricordavo! scusate l'errore :S
Quindi in poche parole nel mio numero in base 13 dovrei moltiplicare per -1 le cifre che si trovano in posizione dispari e moltipicare per 1 le cifre che si trovano in posizione pari?
anche perché c'è differenza tra $(-1)^{2k} $ e $(-1)^{2k+1}$... grazie per la svista paolo.
Quindi in poche parole nel mio numero in base 13 dovrei moltiplicare per -1 le cifre che si trovano in posizione dispari e moltipicare per 1 le cifre che si trovano in posizione pari?
si bugger
e per quanto riguarda il resto della divisione per 8?
Mi potreste per favore indicare i vari passaggi per risolvere esercizi di questo tipo?
Grazie mille
Grazie mille
"bugger":
Mi potreste per favore indicare i vari passaggi per risolvere esercizi di questo tipo?
Grazie mille
non ci sono dei passaggi veri e propri, se cerchi su internet trovi delle dispense sull'aritmetica modulare, e diciamo poi la tecnica viene dal capire e usare i teoremi(che è poi ciò che ha fatto Paolo90).
Questi esercizi mi stanno uccidendo.
Sulle mie dispense leggo che un numero m in base 10 è divisibile per 8 sse è divisibile per 8 il numero formato dalle ultime tre cifre di m e si ha $ m-= c_2[10]^2+c_1[10]+c_0 (mod8)$ ora io ho il numero in base 7 e quindi immagino che sarà $ m-= c_2[7]^2+c_1[7]+c_0 (mod8) $ . Il mio numero è $103210002100112310021200100310_7$ le sue ultime tre cifre sono $310$ e quindi avrò $ m-= 3[7]^2+1[7]+0 (mod8) $ $ m-= 154 (mod8) $ ma $ 154 (mod8)=2 $ quindi verrebbe che il numero non è divisibile per 8 e da resto $2$. Ma se io converto il mio numero dalla base 7 alla base 10 e faccio il modulo con 8 mi viene resto 0 cioè che è divisibile per 8.
$3437160069360227247604672(mod8)=0$
Sulle mie dispense leggo che un numero m in base 10 è divisibile per 8 sse è divisibile per 8 il numero formato dalle ultime tre cifre di m e si ha $ m-= c_2[10]^2+c_1[10]+c_0 (mod8)$ ora io ho il numero in base 7 e quindi immagino che sarà $ m-= c_2[7]^2+c_1[7]+c_0 (mod8) $ . Il mio numero è $103210002100112310021200100310_7$ le sue ultime tre cifre sono $310$ e quindi avrò $ m-= 3[7]^2+1[7]+0 (mod8) $ $ m-= 154 (mod8) $ ma $ 154 (mod8)=2 $ quindi verrebbe che il numero non è divisibile per 8 e da resto $2$. Ma se io converto il mio numero dalla base 7 alla base 10 e faccio il modulo con 8 mi viene resto 0 cioè che è divisibile per 8.
$3437160069360227247604672(mod8)=0$
se hai già il numero in base 7 usa la stesa tecnica che hai usato per veder se il numero era divisibile per 14 in base 13 allora vediamo si applica così se \(\displaystyle n=b+1 \) (è come la divisibilità per 11 in base 10 
) :
\(\displaystyle 0+3+0+0+2+2+0+3+1+0+1+0+0+2+0 -(7+1+0+1+0+1+0+1+2+1+0+2+0+1+3+1)=14-21=-7 \) che da 1 come resto modulo 8.(forse ho sbagliato i conti mail metodo è quello )
) :"bugger":
1032100021001123100212001003107
\(\displaystyle 0+3+0+0+2+2+0+3+1+0+1+0+0+2+0 -(7+1+0+1+0+1+0+1+2+1+0+2+0+1+3+1)=14-21=-7 \) che da 1 come resto modulo 8.(forse ho sbagliato i conti mail metodo è quello
)
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