Esercizi campi finiti e morfismi di gruppi
Ciao a tutti, ho avuto difficoltà cn due esercizi di algebra 2 spero possiate aiutarmi.
1. Determinare i gradi dei fattori irriducibili di $x^19-1$ in $F_7[x]$.
Ho trovato il fattore $x-1$ ma non so come procedere oltre.
2. Considerato il morfismo $\phi: Z_60^\ast\toZ_(60)^\ast$ dato da $x\tox^2$. Mostrare che $ker\phi \subset Im(\phi)$ e trovare le cardinalità di $ker(\phi)$ e $Im(\phi)$.
Dovrei fare vedere che tutti gli elementi di $Z_60^\ast$ hanno ordine che divide 4 ma mi sono bloccato, probabilmente va usato il teorema cinese del resto.
Grazie!
1. Determinare i gradi dei fattori irriducibili di $x^19-1$ in $F_7[x]$.
Ho trovato il fattore $x-1$ ma non so come procedere oltre.
2. Considerato il morfismo $\phi: Z_60^\ast\toZ_(60)^\ast$ dato da $x\tox^2$. Mostrare che $ker\phi \subset Im(\phi)$ e trovare le cardinalità di $ker(\phi)$ e $Im(\phi)$.
Dovrei fare vedere che tutti gli elementi di $Z_60^\ast$ hanno ordine che divide 4 ma mi sono bloccato, probabilmente va usato il teorema cinese del resto.
Grazie!
Risposte
1. Certamente non ci sono altri fattori di grado 1 perchè l'unico elemento che ha ordine un divisore di 19 è 1. D'altronde $7^3-1$ è diviso da 19, il che mostra che su \(\mathbb F_{7^3}\) quel polinomio ha 19 radici. Siccome solo una radice vive già in $\mathbb F_7$, le altre 18 devono vivere in \(\mathbb F_{7^3}\setminus\mathbb F_7\). Ognuna di esse ha grado 3 su $\mathbb F_7$, e quindi quel polinomio deve avere 6 fattori irriducibili di grado 3 e uno di grado 1.
2. Usa il fatto che \((\mathbb Z/60\mathbb Z)^*\cong (\mathbb Z/15\mathbb Z)^*\times (\mathbb Z/4\mathbb Z)^*\).
2. Usa il fatto che \((\mathbb Z/60\mathbb Z)^*\cong (\mathbb Z/15\mathbb Z)^*\times (\mathbb Z/4\mathbb Z)^*\).
1. anche nelle soluzione sfrutta $7^3=1 mod 19$ ma non ho capito perchè implica che $F_(7^3)$ ha tutte le soluzioni.
2. non ho proprio idea..
2. non ho proprio idea..
1. Perchè il gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico. E un gruppo ciclico di ordine $n$ ha esattamente un sottogruppo ciclico di ordine $m$ per ogni $m\mid n$.
2. Quella decomposizione ti dice che per studiare la mappa "elevare al quadrato modulo 60" è sufficiente studiare "elevare al quadrato modulo 15 [il che equivale a farlo modulo 3 e modulo 5] ed elevare al quadrato modulo 4". Per esempio, come trovi il kernel? sono gli elementi il cui quadrato è 1. Modulo 4 tutti i dispari al quadrato fanno 1, modulo 3 c'è solo 1 e modulo 5 hai $1^2=4^2=1$. Ergo modulo 60 ci sono 4 elementi il cui quadrato è 1: sono le soluzioni $x$ dei sistemi $x=1$ modulo 3, $x=1,3$ modulo 4 e $x=1,4$ modulo 5.
2. Quella decomposizione ti dice che per studiare la mappa "elevare al quadrato modulo 60" è sufficiente studiare "elevare al quadrato modulo 15 [il che equivale a farlo modulo 3 e modulo 5] ed elevare al quadrato modulo 4". Per esempio, come trovi il kernel? sono gli elementi il cui quadrato è 1. Modulo 4 tutti i dispari al quadrato fanno 1, modulo 3 c'è solo 1 e modulo 5 hai $1^2=4^2=1$. Ergo modulo 60 ci sono 4 elementi il cui quadrato è 1: sono le soluzioni $x$ dei sistemi $x=1$ modulo 3, $x=1,3$ modulo 4 e $x=1,4$ modulo 5.
1. scusa continuo a non capire. Dici che i generatori di $Z_19$ sono le radici che sto cercando? e che sono in $F_(7^3)?$
2. Ho sbagliato a scrivere, bisogna far vedere che $Im(\phi)\subsetker(\phi)$, quindi che tutti i numeri nell'insieme alla quarta fanno 1
2. Ho sbagliato a scrivere, bisogna far vedere che $Im(\phi)\subsetker(\phi)$, quindi che tutti i numeri nell'insieme alla quarta fanno 1
Ti sto dicendo che il gruppo moltiplicativo \(\mathbb F_{7^3}^{*}\) ha esattamente un sottogruppo di ordine 19. Che proprietà hanno gli elementi di questo sottogruppo?
Qualsiasi cosa tu debba o voglia provare, la strada è quella che ti ho indicato. Il teorema cinese del resto ti dice che risolvere un problema modulo 60 è lo stesso che risolverlo contemporaneamente modulo 3,4,5.
Qualsiasi cosa tu debba o voglia provare, la strada è quella che ti ho indicato. Il teorema cinese del resto ti dice che risolvere un problema modulo 60 è lo stesso che risolverlo contemporaneamente modulo 3,4,5.
2. quindi devo risolvere a sistema $x^4=1 mod 3,4,5$ ovvero ${1,2}\bigcap{1,3}\bigcap{1,2,3,4}={1}? $.
1. ok quel sottogruppo di ordine 19 ha 18 elementi di ordine 19, ma tra questi è compresa l'unità che avevo già contato. al di là di questo non mi è chiaro il ragionamento da seguire. sono fermo a: ho trovato una radice ne devo trovare altre 18 diverse da 1
1. ok quel sottogruppo di ordine 19 ha 18 elementi di ordine 19, ma tra questi è compresa l'unità che avevo già contato. al di là di questo non mi è chiaro il ragionamento da seguire. sono fermo a: ho trovato una radice ne devo trovare altre 18 diverse da 1
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