Esercizi Calcolo Combinatorio
Adesso posterò degli esercizi che mi ha assegnato il professore......li svolgerò per essere sicuro che quello che faccio è giusto e inoltre aiuterò le persone che hanno difficoltà con il calcolo combinatorio (SPERIAMO DI FARE TUTTO GIUSTO)
1)Quante differenti partite di doppio possono giocare tra loro otto tennisti?
SVOLGIMENTO
-In una partita di doppio si hanno 4 giocatori.
-Ne abbiamo a disposizione 8 dobbiamo cosiderare che 4 verranno scelti e 4 non verranno scelti
si ha allora una combinazione $C_(8,4)=((8),(4))= (8!)/(4!*4!)=70
2)In quanti modi diversi sei bambini possono disporsi a formare un girotondo se anna e paola vogliono tenersi per mano?
E se Anna e Paola non si vogliono tenere per mano
SVOLGIMENTO
a) Anna e Paola si tengono per mano
- Nel girotondo si hanno 6 posti dove sei bambini si devono collocare
- Anna e Paola devono tenersi per mano
non possiamo fare direttamente 6! perchè due bambini formano una coppia
allora si considera che le bambine Anna e Paola ne formano uno solo dato che stanno sempre insieme e allora si ha
$P_5 = 5! =120
b) Anna e Paola non si tengono per mano
-Si considera tutte le volte in cui Anna e Paola stanno insieme(già calcolato prima)
-Abbiamo 6 posti da collocare 6 bambini
allora si ha $P_6 = 6! = 720$ bambini predisposti nel girotondo
per calcolare i diversi modi in cui anna e paola nn si devono tenere per mano basta sottrarre a $P_6$ tutte le volte in cui Anna e Paola si tengono per mano e si ha:
$T=P_6 - P_5=720 - 120 =600$
3) Determinare il numero N in cui si possono disporre 8 canottieri in un'imbarcazione da regata tenendo conto che i due più forti non devono andare nè al primo ne all'ultimo posto
SVOLGIMENTO
-Si hanno 8 posti da assegnare a 8 canottieri
-Due sono forti e non devono stare ne al primo ne all'ultimo posto
non possiamo fare direttamente 8! perchè due canottieri non stanno in due posti
per un momento leviamo in considerazione i due più forti e leviamo due posti si ha una permutazione di 6 canottieri $P_6=720$
per i due più forti si hanno a disposizione 6 posti perche in due non possono stare quindi una disposizone di due canottieri
$D_(6,2)=(6!)/(4!)= 30
quindi in definitiva si che $N=P_6*D_(6,2)=720*30=21600
1)Quante differenti partite di doppio possono giocare tra loro otto tennisti?
SVOLGIMENTO
-In una partita di doppio si hanno 4 giocatori.
-Ne abbiamo a disposizione 8 dobbiamo cosiderare che 4 verranno scelti e 4 non verranno scelti
si ha allora una combinazione $C_(8,4)=((8),(4))= (8!)/(4!*4!)=70
2)In quanti modi diversi sei bambini possono disporsi a formare un girotondo se anna e paola vogliono tenersi per mano?
E se Anna e Paola non si vogliono tenere per mano
SVOLGIMENTO
a) Anna e Paola si tengono per mano
- Nel girotondo si hanno 6 posti dove sei bambini si devono collocare
- Anna e Paola devono tenersi per mano
non possiamo fare direttamente 6! perchè due bambini formano una coppia
allora si considera che le bambine Anna e Paola ne formano uno solo dato che stanno sempre insieme e allora si ha
$P_5 = 5! =120
b) Anna e Paola non si tengono per mano
-Si considera tutte le volte in cui Anna e Paola stanno insieme(già calcolato prima)
-Abbiamo 6 posti da collocare 6 bambini
allora si ha $P_6 = 6! = 720$ bambini predisposti nel girotondo
per calcolare i diversi modi in cui anna e paola nn si devono tenere per mano basta sottrarre a $P_6$ tutte le volte in cui Anna e Paola si tengono per mano e si ha:
$T=P_6 - P_5=720 - 120 =600$
3) Determinare il numero N in cui si possono disporre 8 canottieri in un'imbarcazione da regata tenendo conto che i due più forti non devono andare nè al primo ne all'ultimo posto
SVOLGIMENTO
-Si hanno 8 posti da assegnare a 8 canottieri
-Due sono forti e non devono stare ne al primo ne all'ultimo posto
non possiamo fare direttamente 8! perchè due canottieri non stanno in due posti
per un momento leviamo in considerazione i due più forti e leviamo due posti si ha una permutazione di 6 canottieri $P_6=720$
per i due più forti si hanno a disposizione 6 posti perche in due non possono stare quindi una disposizone di due canottieri
$D_(6,2)=(6!)/(4!)= 30
quindi in definitiva si che $N=P_6*D_(6,2)=720*30=21600
Risposte
invece di correggerti, ti faccio alcune osservazioni:
nel primo non hai tenuto conto di come, scelti 4 giocatori, si formano le due coppie
nel 2.a non hai tenuto conto di due cose, una che fa aumentare ed una che fa diminuire: le due bimbe possono essere una a destra ed una a sinistra (nella posizione reciproca) ed inoltre i sei posti non contano perché sono a "girotondo": 5! è il totale delle permutazioni da considerare...
sul 3 mi sono persa. non escludo che possa essere fatto bene ma non mi convince... proverò a farlo io... EDIT: l'ho già fatto in maniera abbastanza banale ed il risultato coincide con il tuo.
ciao.
nel primo non hai tenuto conto di come, scelti 4 giocatori, si formano le due coppie
nel 2.a non hai tenuto conto di due cose, una che fa aumentare ed una che fa diminuire: le due bimbe possono essere una a destra ed una a sinistra (nella posizione reciproca) ed inoltre i sei posti non contano perché sono a "girotondo": 5! è il totale delle permutazioni da considerare...
sul 3 mi sono persa. non escludo che possa essere fatto bene ma non mi convince... proverò a farlo io... EDIT: l'ho già fatto in maniera abbastanza banale ed il risultato coincide con il tuo.
ciao.
nel primo devo considerare una combinazione $C_(4,2)=((4),(2))= (4!)/(2!*2!)= 6 $ e poi lo devo moltiplicare con il numero che ho trovato.......giusto?
nel secondo facciamo finta che sono (lo faccio per non fare troppi conti) 5 bambini di cui anna e paola sn sempre insieme si ha
A 1 2 3 P
A 1 3 2 P
A 2 3 1 P
A 2 1 3 P
A 3 1 2 P
A 3 2 1 P
dove Anna e Paola sono tenuti per mano e 1 2 3 sono gli altri bambini
se scambiano A e P nel seguente modo si ha
P 1 2 3 A
P 1 3 2 A
P 2 3 1 A
P 2 1 3 A
P 3 1 2 A
P 3 2 1 A
che formano le stesse coppie e quindi è come se fosse un bambino solo.....
nel secondo facciamo finta che sono (lo faccio per non fare troppi conti) 5 bambini di cui anna e paola sn sempre insieme si ha
A 1 2 3 P
A 1 3 2 P
A 2 3 1 P
A 2 1 3 P
A 3 1 2 P
A 3 2 1 P
dove Anna e Paola sono tenuti per mano e 1 2 3 sono gli altri bambini
se scambiano A e P nel seguente modo si ha
P 1 2 3 A
P 1 3 2 A
P 2 3 1 A
P 2 1 3 A
P 3 1 2 A
P 3 2 1 A
che formano le stesse coppie e quindi è come se fosse un bambino solo.....
le doppie coppie mi pare che non sono 6, anche se non so come dovrebbero essere contate... (per me sono tre...).
la sestina di sopra è diversa da quella di sotto se conti l'ordine in senso orario o antiorario...
se invece devi solo stabilire quali bambine dànno una mano a ciascuna, allora la prima riga è equivalente all'ultima, ad esempio.
la sestina di sopra è diversa da quella di sotto se conti l'ordine in senso orario o antiorario...
se invece devi solo stabilire quali bambine dànno una mano a ciascuna, allora la prima riga è equivalente all'ultima, ad esempio.
Ma per il primo è giusto il procedimento? cioè il fatto che devo moltiplicare C4,2 per il risultato che ho ottenuto sopra?
Per quanto riguarda il secondo
ma se Anna e Paola formano
A 1 2 3 P A 1 3 2 P A 2 3 1 P A 2 1 3 P A 3 1 2 P A 3 2 1 P
P 3 2 1 A P 2 3 1 A P 1 3 2 A P 3 1 2 A P 2 1 3 A P 1 2 3 A
sono uguali se li leggi da destra verso sinistra o viceversa non è specificato l'ordine........non è stato detto che anna deve precedere paola o viceversa e stato detto in quanti modi 6 bambini si dispongono in un girotondo.....il girotondo è un cerchio quindi se leggi da A hai
A 1 2 3 P
se leggi da P hai
P 3 2 1 A
Per quanto riguarda il secondo
ma se Anna e Paola formano
A 1 2 3 P A 1 3 2 P A 2 3 1 P A 2 1 3 P A 3 1 2 P A 3 2 1 P
P 3 2 1 A P 2 3 1 A P 1 3 2 A P 3 1 2 A P 2 1 3 A P 1 2 3 A
sono uguali se li leggi da destra verso sinistra o viceversa non è specificato l'ordine........non è stato detto che anna deve precedere paola o viceversa e stato detto in quanti modi 6 bambini si dispongono in un girotondo.....il girotondo è un cerchio quindi se leggi da A hai
A 1 2 3 P
se leggi da P hai
P 3 2 1 A
secondo te, se hai i giocatori A,B,C,D in quanti modi puoi fare le partite di doppio?
per l'altra questione, per me non è importante il punto da cui si inizia a "contare" i 6 bambini, mentre è importante se si va in senso orario o antiorario.
comunque il tuo risultato finale quanto sarebbe?
ti consiglio di dare un'occhiata qui (ad alcuni post in cui si parla delle disposizioni in circolo):
https://www.matematicamente.it/forum/per ... 37139.html
il link riguarda la pagina iniziale, però ti consiglio di vedere anche le pagine successive.
ciao.
per l'altra questione, per me non è importante il punto da cui si inizia a "contare" i 6 bambini, mentre è importante se si va in senso orario o antiorario.
comunque il tuo risultato finale quanto sarebbe?
ti consiglio di dare un'occhiata qui (ad alcuni post in cui si parla delle disposizioni in circolo):
https://www.matematicamente.it/forum/per ... 37139.html
il link riguarda la pagina iniziale, però ti consiglio di vedere anche le pagine successive.
ciao.
ops è vero 4! cioè vale a dire una permutazione semplice quindi il risultato finale sarebbe
$R= C_(8,4)*P_4 = 70*24 = 1680
per quanto riguarda il secondo mi risulta 5! e comunque come ti avevo detto prima non è specificato il verso......
ho letto il post ma quelle persone sono sedute in cinque sedie ma non disposte su di un cerchio.........tu come hai fatto il ragionamento fammi capire
io te l'ho postato prima ho considerato la coppia AP come se fosse un bambino solo perchè cambiando l'ordine di P e di A formano la stessa coppia......
Delucidami perchè non so che altro fare.....ciao
$R= C_(8,4)*P_4 = 70*24 = 1680
per quanto riguarda il secondo mi risulta 5! e comunque come ti avevo detto prima non è specificato il verso......
ho letto il post ma quelle persone sono sedute in cinque sedie ma non disposte su di un cerchio.........tu come hai fatto il ragionamento fammi capire
io te l'ho postato prima ho considerato la coppia AP come se fosse un bambino solo perchè cambiando l'ordine di P e di A formano la stessa coppia......
Delucidami perchè non so che altro fare.....ciao
a pagina 3 del link c'è:
e le discussioni sono a pagina 5.
...........addirittura le partite sono aumentate?
propongo qualche piccola variante:
il mio ultimo quesito come si sarebbe "semplificato" se invece di disporsi in fila i ragazzi avessero occupato 9 posti intorno ad un tavolo ?
e le discussioni sono a pagina 5.
...........addirittura le partite sono aumentate?
dov'è che sbaglio nel punto uno abbiamo una combinazione e una permutazione....
aspetta il risultato finale è 46? dimmi se è giusto poi ti dico come ci sono arrivato
per il punto due......AIUTO!!! sul fatto che mi hai mandato su quel post......non ho capito niente
mi spieghi cosa avete utilizzato e come devo attuarlo nell'esercizio? scusa se insisto ma sono in difficoltà
aspetta il risultato finale è 46? dimmi se è giusto poi ti dico come ci sono arrivato
per il punto due......AIUTO!!! sul fatto che mi hai mandato su quel post......non ho capito niente
mi spieghi cosa avete utilizzato e come devo attuarlo nell'esercizio? scusa se insisto ma sono in difficoltà
per me il n. 1 è 210, il 2.a è 48, il 2.b è 72, il 3 è 21600.
70 sono le possibilità di selezionare 4 giocatori, 3 le possibilità di abbinarli nel doppio: AB-CD, AC-BD, AD-BC.
se partiamo dalla prima ragazza, dovremmo dire 6*..., perché può occupare uno qualsiasi dei sei posti, ma in realtà poi dovremmo ridividere per sei perché mentre i bimbi fanno girotondo i sei posti sono tutti indifferenti...
allora partiamo da 1*... e andiamo a moltiplicare il numero delle posizioni che possono assumere gli altri bimbi in relazione a chi "si è già sistemato".
nel caso 2.a, la seconda ragazza si posiziona vicino alla prima (ma a destra o a sinistra, non è indifferente), e gli altri bimbi occupano indifferentemente i rimanenti 4 posti, per cui 1*2*4!=48.
nel caso 2.b, la seconda ragazza si posiziona in uno dei tre posti non vicini alla prima, e sempre gli altri bimbi indifferentemente nei quattro posti rimanenti, dunque 1*3*4!=72.
per conferma di quanto detto e per l'applicazione della formula che tu hai usato per trovare il 2.b dal 2.a, il totale delle permutazioni non è 6!, ma 6!/6=5!
spero sia chiaro. ciao.
70 sono le possibilità di selezionare 4 giocatori, 3 le possibilità di abbinarli nel doppio: AB-CD, AC-BD, AD-BC.
se partiamo dalla prima ragazza, dovremmo dire 6*..., perché può occupare uno qualsiasi dei sei posti, ma in realtà poi dovremmo ridividere per sei perché mentre i bimbi fanno girotondo i sei posti sono tutti indifferenti...
allora partiamo da 1*... e andiamo a moltiplicare il numero delle posizioni che possono assumere gli altri bimbi in relazione a chi "si è già sistemato".
nel caso 2.a, la seconda ragazza si posiziona vicino alla prima (ma a destra o a sinistra, non è indifferente), e gli altri bimbi occupano indifferentemente i rimanenti 4 posti, per cui 1*2*4!=48.
nel caso 2.b, la seconda ragazza si posiziona in uno dei tre posti non vicini alla prima, e sempre gli altri bimbi indifferentemente nei quattro posti rimanenti, dunque 1*3*4!=72.
per conferma di quanto detto e per l'applicazione della formula che tu hai usato per trovare il 2.b dal 2.a, il totale delle permutazioni non è 6!, ma 6!/6=5!
spero sia chiaro. ciao.
eccomi qui ada ho letto solo ieri la tua risposta......perciò fammi capire vediamo se dico giusto per il caso a si fa inizialmente una permutazione $4!$ perchè i bambini possono stare in quattro posti e fino a qui ci sono
metre le altre due sono insieme nel primo caso e occupano ognuna due posizioni diverse quindi si ha $2!$
quindi si ha come risultato $R_1=2!*4! =48$
per trovare il caso b cosideriamo sempre $4!$
siccome anna e paola non devo stare insieme consideriamo il girotondo
$- - - - - - $ l'ultimo posto e colegato con il primo
anna e paola si collocano rispettivamente in questo modo
$A - P - - - $
$A - - P - - $
$A - - - P - $
giusto? quindi si hanno tre modi e il risultato è
$R_2=3*4! = 72$
a conferma di tutto si somma i risultati e si ottiene $R=R_1+R_2=72+48=120$ cioè $5!$ non è $6!$ perchè è un girotondo e un bambino si deve "fissare"
spero che sia giusta la mia spiegazione
metre le altre due sono insieme nel primo caso e occupano ognuna due posizioni diverse quindi si ha $2!$
quindi si ha come risultato $R_1=2!*4! =48$
per trovare il caso b cosideriamo sempre $4!$
siccome anna e paola non devo stare insieme consideriamo il girotondo
$- - - - - - $ l'ultimo posto e colegato con il primo
anna e paola si collocano rispettivamente in questo modo
$A - P - - - $
$A - - P - - $
$A - - - P - $
giusto? quindi si hanno tre modi e il risultato è
$R_2=3*4! = 72$
a conferma di tutto si somma i risultati e si ottiene $R=R_1+R_2=72+48=120$ cioè $5!$ non è $6!$ perchè è un girotondo e un bambino si deve "fissare"
spero che sia giusta la mia spiegazione
sì, OK.
solo che ho dovuto fare una fatica per seguirti visto che è passato parecchio tempo ed è "cambiata pagina" ... !
solo che ho dovuto fare una fatica per seguirti visto che è passato parecchio tempo ed è "cambiata pagina" ... !
scusami è che non ho potuto connettermi in questi giorni ho studiato come il pazzo...........mi dispiace averti fatto faticare......la prossima volta risponderò subito......grazie mille e se supero l'esame ti ringrazierò ciao ciao
non ti preoccupare, non era mica colpa tua il cambio della pagina?
in bocca al lupo per l'esame!
in bocca al lupo per l'esame!
Può aver senso di tener presente anche il senso (orario - antiorario) ?
Cioè, la sequenza:
1-2-3-4-5-6
potrebbe essere equivalente a:
1-6-5-4-3-2
Cosa ne pensate ?
Cioè, la sequenza:
1-2-3-4-5-6
potrebbe essere equivalente a:
1-6-5-4-3-2
Cosa ne pensate ?
il problema è stato già posto. secondo la mia interpretazione, no.
non è detto che non sia un altro modo di risolvere il problema (tra l'altro c'è solo la differeza di un fattore 2), ma per me è importante la posizione, per i soggetti in circolo, di chi hanno alla propria destra e alla propria sinistra, e, per l'osservatore che li vede muoversi in senso orario o in senso antiorario, l'ordine in cui li vede in una certa posizione (tipo uno che guarda fisso da una parte passare i cavalli di una giostra e conta le persone che gli passano davanti finché non ripassa la persona da cui ha iniziato a contare ... ).
ciao.
non è detto che non sia un altro modo di risolvere il problema (tra l'altro c'è solo la differeza di un fattore 2), ma per me è importante la posizione, per i soggetti in circolo, di chi hanno alla propria destra e alla propria sinistra, e, per l'osservatore che li vede muoversi in senso orario o in senso antiorario, l'ordine in cui li vede in una certa posizione (tipo uno che guarda fisso da una parte passare i cavalli di una giostra e conta le persone che gli passano davanti finché non ripassa la persona da cui ha iniziato a contare ... ).
ciao.
"adaBTTLS":
il problema è stato già posto. secondo la mia interpretazione, no.
Si, è vero, se ne era già parlato... Sorry.
Avevo posto questa domanda perchè considerato che non si tiene conto della posizione del primo bambino, mi chiedevo se era lecito o meno considerare il senso (orario - antiorario)
crepi e comunque ti ringrazio lo stesso per tutto
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