Esempio sul campo composto di due estensioni trascendenti di un campo.
Buona sera a tutti ragazzi, dovrei dare un esempio relativamente al seguente argomento:
Consideriamo un campo $k $, due sue estensioni $M $ ed $N $ e infine un campo più grande $L $ che contenga tutti i 3 precedenti. Supponiamo che $M $ e $N $ siano due estensioni trascendenti di $k $, allora l'immagine della mappa (che risulta essere ben definita) $rho : M \otimes_(k) N \to L $ tale che $m \otimes n \mapsto mn $ non è il campo composto di $M $ ed $N $. Avevo pensato di prendere $k =QQ $ e come $M=QQ (e), N=QQ (pi) $. Ad occhio sembrerebbe che l'elemento $pi + e $ non stia nell'immagine di $rho $, che invece sta nel campo composto. Che ne pensate? Se ció fosse vero, mi rimarrebbe da mostrare che effettivamente quell'elemento non sta nell'immagine di $rho $. In tal caso avrei che $pi+e=f (pi)g (e) $dove f è un polinomio in $ pi$ e g è un polinomio in $e $, ma ció non mi pare possibile. Vorrei formalizzare meglio tuttavia.
Grazie a tutti.
Consideriamo un campo $k $, due sue estensioni $M $ ed $N $ e infine un campo più grande $L $ che contenga tutti i 3 precedenti. Supponiamo che $M $ e $N $ siano due estensioni trascendenti di $k $, allora l'immagine della mappa (che risulta essere ben definita) $rho : M \otimes_(k) N \to L $ tale che $m \otimes n \mapsto mn $ non è il campo composto di $M $ ed $N $. Avevo pensato di prendere $k =QQ $ e come $M=QQ (e), N=QQ (pi) $. Ad occhio sembrerebbe che l'elemento $pi + e $ non stia nell'immagine di $rho $, che invece sta nel campo composto. Che ne pensate? Se ció fosse vero, mi rimarrebbe da mostrare che effettivamente quell'elemento non sta nell'immagine di $rho $. In tal caso avrei che $pi+e=f (pi)g (e) $dove f è un polinomio in $ pi$ e g è un polinomio in $e $, ma ció non mi pare possibile. Vorrei formalizzare meglio tuttavia.
Grazie a tutti.
Risposte
L'elemento $\pi + e$ sta nell'immagine di $\rho$. Infatti
\[
\rho(( e \otimes 1) + (1 \otimes \pi)) = e + \pi.
\]
Non ho in mente un esempio immediato. Mi verrebbe naturale pensare a campi di funzioni razionali su $k$.
Se le estensioni sono algebriche, l'immagine di $\rho$ e il campo composto sono sempre uguali? Se si', dove si usa l'algebricita' nella dimostrazione di questo fatto?
\[
\rho(( e \otimes 1) + (1 \otimes \pi)) = e + \pi.
\]
Non ho in mente un esempio immediato. Mi verrebbe naturale pensare a campi di funzioni razionali su $k$.
Se le estensioni sono algebriche, l'immagine di $\rho$ e il campo composto sono sempre uguali? Se si', dove si usa l'algebricita' nella dimostrazione di questo fatto?
Bah, che sbadato, ho dimenticato per un attimo che i morfismi sono lineari.
Per rispondere alla tua domanda: si, basta che una tra le due estensioni M, N sia algebrica. Si usa nel momento in cui si vuole mostrare che, ad esempio supponendo che M sia algebrico su $k$, un elemento generico dell'immagine di $rho$ è invertibile.
Per rispondere alla tua domanda: si, basta che una tra le due estensioni M, N sia algebrica. Si usa nel momento in cui si vuole mostrare che, ad esempio supponendo che M sia algebrico su $k$, un elemento generico dell'immagine di $rho$ è invertibile.
Quindi in generale, senza algebricita', l'immagine di $\rho$ non e' un campo. Prova a dimostrare allora che nel tuo esempio $1/(\pi + e)$ non e' nell'immagine di $\rho$.
In realta' credo proprio che questo approccio sia equivalente a lavorare con campi di funzioni razionali, perche', come anelli $\mathbb{Q}[\pi]$ e $\mathbb{Q}[x]$ sono isomorfi.
In realta' credo proprio che questo approccio sia equivalente a lavorare con campi di funzioni razionali, perche', come anelli $\mathbb{Q}[\pi]$ e $\mathbb{Q}[x]$ sono isomorfi.
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