Esempio di ultrafiltri sui naturali
Vorrei fare una domanda. Mi hanno definito gli ultrafiltri su \( \mathbb{N} \) così
Una famiglia \( F \) non vuota di sottoinsiemi di \( \mathbb{N} \) è chiamata filtro se
i) \( \emptyset \not\in F \)
ii) \(F\) è chiusa rispetto ai superset, ovvero se \( A \in F \) e \( A \subset B \) allora \( B \in F \).
iii) \(F\) ha la proprietà dell'intersezione finita, i.e. se \(A , B \in F \) allora \( A \cap B \in F \)
Un filtro \(F\) è detto un ultrafiltro se
iv) \(F\) è massimale nel senso che nessun altro filtro contiene \(F\) come sottoinsieme proprio.
Proposizione: Un filtro su \( \mathbb{N} \) è un ultrafiltro se e solo se è partition regular, i.e. se \( A = C_1 \cup \ldots \cup C_k \) allora esiste \( 1 \leq i \leq k \) tale che \( C_i \in F \).
Domanda 1) non ho ben capito iv) nel senso \(F\) è una famiglia di insiemi, come fa un altro filtro a contenere \(F\) come sottoinsieme?
Domanda 2) Ho difficoltà a farmi un esempio di ultrafiltro su \( \mathbb{N} \).
Una famiglia \( F \) non vuota di sottoinsiemi di \( \mathbb{N} \) è chiamata filtro se
i) \( \emptyset \not\in F \)
ii) \(F\) è chiusa rispetto ai superset, ovvero se \( A \in F \) e \( A \subset B \) allora \( B \in F \).
iii) \(F\) ha la proprietà dell'intersezione finita, i.e. se \(A , B \in F \) allora \( A \cap B \in F \)
Un filtro \(F\) è detto un ultrafiltro se
iv) \(F\) è massimale nel senso che nessun altro filtro contiene \(F\) come sottoinsieme proprio.
Proposizione: Un filtro su \( \mathbb{N} \) è un ultrafiltro se e solo se è partition regular, i.e. se \( A = C_1 \cup \ldots \cup C_k \) allora esiste \( 1 \leq i \leq k \) tale che \( C_i \in F \).
Domanda 1) non ho ben capito iv) nel senso \(F\) è una famiglia di insiemi, come fa un altro filtro a contenere \(F\) come sottoinsieme?
Domanda 2) Ho difficoltà a farmi un esempio di ultrafiltro su \( \mathbb{N} \).
Risposte
Risposta 1) Pensa alle topologie: quand'è che una topologia è "più fine" dell'altra?
Risposta 2) E ci credo! Vado a memoria, ma la teoria descrittiva degli insiemi dice che non esiste un esempio "facile da costruire" di ultrafiltro sui naturali; e quel che è peggio è che è consistente con ZF (senza C) che non ne esistano. Quindi gli ultrafiltri su \(\mathbb N\) sono difficili da definire, e la loro definizione è inerentemente non costruttiva.
Risposta 2) E ci credo! Vado a memoria, ma la teoria descrittiva degli insiemi dice che non esiste un esempio "facile da costruire" di ultrafiltro sui naturali; e quel che è peggio è che è consistente con ZF (senza C) che non ne esistano. Quindi gli ultrafiltri su \(\mathbb N\) sono difficili da definire, e la loro definizione è inerentemente non costruttiva.
Fissa $x_0 in NN$. L'insieme dei sottoinsiemi di $NN$ che contengono $x_0$ è un ultrafiltro su $NN$ (lo vedi subito usando la definizione di filtro e la proposizione che hai citato). Si chiama ultrafiltro principale. Quello che megas_archon vuole dire è che non si riescono a costruire esplicitamente e costruttivamente ultrafiltri non principali.
Osserva che su un insieme finito $X$ ogni ultrafiltro è principale, cioè è l'insieme dei sottoinsiemi di $X$ che contengono un fissato elemento (esercizio facile).
Osserva che su un insieme finito $X$ ogni ultrafiltro è principale, cioè è l'insieme dei sottoinsiemi di $X$ che contengono un fissato elemento (esercizio facile).
1) Certo ma intendevo, una famiglia di insiemi non è necessariamente un insieme di insiemi quindi mi chiedevo come fa a contenere un "sottoinsieme". Non so se mi spiego.
Si intendevo gli ultrafiltri non principali ovviamente, scusate se non l'ho specificato.
Si intendevo gli ultrafiltri non principali ovviamente, scusate se non l'ho specificato.
Una famiglia di insiemi è precisamente un insieme di insiemi, non capisco cosa intendi.
L'insieme delle parti è un insieme. È un assioma. Quindi ha sottoinsiemi.
"megas_archon":
Una famiglia di insiemi è precisamente un insieme di insiemi, non capisco cosa intendi.
La famiglia che contiene tutti gli insiemi non è un insieme.
"Martino":
L'insieme delle parti è un insieme. È un assioma. Quindi ha sottoinsiemi.
Ma ho capito che qui effettivamente sì, perché chiaramente un ultrafiltro è un sottoinsieme dell'insieme delle parti che è un insieme.
"3m0o":
[quote="megas_archon"]Una famiglia di insiemi è precisamente un insieme di insiemi, non capisco cosa intendi.
La famiglia che contiene tutti gli insiemi non è un insieme.[/quote] Questo è vero ma non c'entra nulla con quello che chiedi.
In definitiva la iv) vuol dire questo?
Se \( F \) è un ultrafiltro e \( U \) è un altro filtro abbiamo che \( F \subseteq U \) se e solo se \( F=U \) ?
Ma \( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \setminus \{\emptyset\} \) mi sembra un filtro e pure un ultrafiltro, ma mi sembra anche che ogni altro ultrafiltro sia contenuto qui dentro...
Edit: no! Non è un filtro perché non ha la proprietà dell'intersezione finita.
Se \( F \) è un ultrafiltro e \( U \) è un altro filtro abbiamo che \( F \subseteq U \) se e solo se \( F=U \) ?
Ma \( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \setminus \{\emptyset\} \) mi sembra un filtro e pure un ultrafiltro, ma mi sembra anche che ogni altro ultrafiltro sia contenuto qui dentro...
Edit: no! Non è un filtro perché non ha la proprietà dell'intersezione finita.
Inoltre un ultrafiltro non principale deve per forza consistere di insiemi infiniti (altro esercizio facile).
Ed esiste una struttura naturale di anello in $P(NN)$ (vedendo i sottoinsiemi di $NN$ come funzioni $f:NN->ZZ//2ZZ$ in cui però $0$ è interpretato come appartenenza, cioè il contrario delle funzioni indicatrici) secondo la quale l'insieme vuoto è l'unità moltiplicativa, i filtri sono ideali propri e gli ultrafiltri sono gli ideali massimali.
"Martino":
Inoltre un ultrafiltro non principale deve per forza consistere di insiemi infiniti (altro esercizio facile).
Penso si dimostri così: se \(A \in F \) fosse finito, allora applicando la partition regularity di \(F\) un numero finito di volte possiamo a dire che esiste \( n \in A \subseteq \mathbb{N} \) tale che \( \{n\} \in F \), ora per la proprietà dell'intersezione finita abbiamo che qualunque \( B \in F \) risulta che \( \{n \} \cap B \in F \) da cui chiaramente otteniamo una contraddizione perché abbiamo supposto che \( F \) è un ultrafiltro non principale. quindi \( \emptyset\not\in F \)
"Martino":
Ed esiste una struttura naturale di anello in $P(NN)$ (vedendo i sottoinsiemi di $NN$ come funzioni $f:NN->ZZ//2ZZ$ in cui però $0$ è interpretato come appartenenza, cioè il contrario delle funzioni indicatrici) secondo la quale l'insieme vuoto è l'unità moltiplicativa, i filtri sono ideali propri e gli ultrafiltri sono ideali massimali.
Figo! Non sapevo. Sapevo che esiste un isomorfismo tra \( (M,\ast) \) dove \(M\) è l'insieme di tutte le \(\{0,1\}\) misure di probabilità additive finite su \( \mathbb{N} \) e \( \ast \) è il prodotto di convoluzione e il semigruppo topologico compatto \( ( \beta \mathbb{N} , + ) \), dove \( \beta \mathbb{N} \) è l'insieme di tutti gli ultrafiltri su \( \mathbb{N} \) e \(+ \) è da interpretare come: se \( p,q \) sono due ultrafiltri allora \(p+q= \{ A \subseteq \mathbb{N} : A- q \in p \} \) e per un insieme \(A\), \(A-q = \{ n \in \mathbb{N} : A-n \in q \} \).
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