Esempio di gruppo che ha sottogruppi di Hall non coniugati

[glooo1]

Vorrei trovare un esempio di gruppo finito che ha due $\pi$-sottogruppi di Hall non coniugati tra loro.

Wikipedia dice che un esempio di gruppo con tale proprietà è $PSL(2,11)$, visto che ha due sottogruppi di ordine $12$, uno isomorfo ad $A_4$ e l'altro al gruppo diedrale $D_12$.

Non mi riesce provare quest'ultimo fatto. Come posso procedere? Oppure c'è un esempio più semplice?

Grazie per l'aiuto.

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Quello isomorfo ad $A_4$ è il normalizzante di un $2$-Sylow, quello isomorfo a $D_{12}$ è il normalizzante di un $3$-Sylow. Per calcolare i normalizzanti non ho altre idee al momento se non fare i conti.

L'esempio più piccolo è $PSL(2,7) \cong SL(3,2)$ (che ha ordine $168 = 7*24$) che ha due azioni non equivalenti di grado $7$, i cui stabilizzatori dei punti sono quindi non coniugati di ordine $24$. Una è l'azione sul "Fano Plane", l'altra sul "Complementary Fano Plane". Sto guardando qui.

Non so se ti ho risposto. Dipende un po' tutto dal motivo per cui sei interessato alla questione. Stai studiando la teoria di Hall da autodidatta?

[glooo1]

Grazie mille per la risposta, allora guardo un po' se mi riesce provarlo facendo i conti.

Sto studiando la teoria dei sottogruppi di Hall per preparare l'esame della magistrale di Istituzioni di Algebra Superiore.