Esempio delle scarpe e dei calzini di Russell...
Perdonate, la mia ignoranza in merito... ma qualcuno ricorda questo esempio relativo all'assioma della scelta nella teoria ZF? Dovrebbe essere abbastanza famoso, ma in questo momento, oltre a non ricordarlo con precisione, non riesco a trovare nemmeno il libro dal quale, a suo tempo, l'ho letto/studiato.... e anche una rapida ricerca su google ha avuto scarsi risultati...
Risposte
Beh, sì, è famoso... Lo conosco pure io, che mi occupo di tutt'altro. 
L'idea è che per istituire una funzione di scelta nella famiglia [tex]$\mathcal{S}$[/tex] delle paia di scarpe non hai bisogno dello AC (Axiom of Choice); mentre ne hai bisogno se vuoi istituire una funzione di scelta nella famiglia [tex]$\mathcal{C}$[/tex] delle paia di calzini.
Chiarisco.
Sia [tex]$\mathcal{X}$[/tex] una famiglia di insiemi non vuoti; una funzione di scelta in [tex]$\mathcal{X}$[/tex] è un'applicazione [tex]$\Phi:\mathcal{X}\ni X \mapsto x\in X$[/tex] (praticamente [tex]$\Phi$[/tex] "sceglie" in ogni insieme [tex]$X\in \mathcal{X}$[/tex] un elemento [tex]$x\in X$[/tex]).
Lo AC garantisce che una tale funzione [tex]$\Phi$[/tex] esiste per ogni famiglia [tex]$\mathcal{X}$[/tex] di insiemi non vuoti, pur non indicandola esplicitamente.
Tuttavia, l'esempio di Russell ci dice che lo AC non sempre è indispensabile per ottenere una funzione di scelta in [tex]$\mathcal{X}$[/tex]: infatti, alcune volte tale funzione può essere costruita "a mano" in modo esplicito, sfruttando il fatto che gli elementi di ogni [tex]$X\in \mathcal{X}$[/tex] possono essere "naturalmente" distinti gli uni dagli altri.
In particolare, se [tex]$\mathcal{X}=\mathcal{S}=\{ S_i\}_{i\in I}$[/tex] con [tex]$S_i=\{ s_i,d_i\}$[/tex] (ovviamente: [tex]$\mathcal{S}$[/tex] è la classe delle paia di scarpe, [tex]$S_i$[/tex] è un paio di scarpe, [tex]$s_i$[/tex] è la scarpa sinistra e [tex]$d_i$[/tex] quella destra in [tex]$S_i$[/tex]), allora una funzione di scelta [tex]$\mathcal{S}\ni S_i\mapsto \Phi (S_i)\in S_i$[/tex] può essere determinata "a mano" semplicemente decidendo, per ogni [tex]$i\in I$[/tex], se [tex]$\Phi (S_i)$[/tex] è la scarpa sinistra o quella destra.
Quest'ultima costruzione non si può fare nella classe [tex]$\mathcal{C}=\{ C_i\}_{i\in I}$[/tex], poichè in [tex]$C_i$[/tex] è impossibile distinguere la calza destra da quella sinistra: pertanto, sei costretto ad invocare AC per garantire l'esistenza di una funzione di scelta in [tex]$\mathcal{C}$[/tex].
Spero di essere stato abbastanza chiaro (dato che mi occupo d'altro...).
Se non sei del tutto convinto, aspetta che passi qualche algebrista da queste parti.
P.S.: Anzi, ora sposto in Algebra, che mi pare la stanza più adatta.
L'idea è che per istituire una funzione di scelta nella famiglia [tex]$\mathcal{S}$[/tex] delle paia di scarpe non hai bisogno dello AC (Axiom of Choice); mentre ne hai bisogno se vuoi istituire una funzione di scelta nella famiglia [tex]$\mathcal{C}$[/tex] delle paia di calzini.
Chiarisco.
Sia [tex]$\mathcal{X}$[/tex] una famiglia di insiemi non vuoti; una funzione di scelta in [tex]$\mathcal{X}$[/tex] è un'applicazione [tex]$\Phi:\mathcal{X}\ni X \mapsto x\in X$[/tex] (praticamente [tex]$\Phi$[/tex] "sceglie" in ogni insieme [tex]$X\in \mathcal{X}$[/tex] un elemento [tex]$x\in X$[/tex]).
Lo AC garantisce che una tale funzione [tex]$\Phi$[/tex] esiste per ogni famiglia [tex]$\mathcal{X}$[/tex] di insiemi non vuoti, pur non indicandola esplicitamente.
Tuttavia, l'esempio di Russell ci dice che lo AC non sempre è indispensabile per ottenere una funzione di scelta in [tex]$\mathcal{X}$[/tex]: infatti, alcune volte tale funzione può essere costruita "a mano" in modo esplicito, sfruttando il fatto che gli elementi di ogni [tex]$X\in \mathcal{X}$[/tex] possono essere "naturalmente" distinti gli uni dagli altri.
In particolare, se [tex]$\mathcal{X}=\mathcal{S}=\{ S_i\}_{i\in I}$[/tex] con [tex]$S_i=\{ s_i,d_i\}$[/tex] (ovviamente: [tex]$\mathcal{S}$[/tex] è la classe delle paia di scarpe, [tex]$S_i$[/tex] è un paio di scarpe, [tex]$s_i$[/tex] è la scarpa sinistra e [tex]$d_i$[/tex] quella destra in [tex]$S_i$[/tex]), allora una funzione di scelta [tex]$\mathcal{S}\ni S_i\mapsto \Phi (S_i)\in S_i$[/tex] può essere determinata "a mano" semplicemente decidendo, per ogni [tex]$i\in I$[/tex], se [tex]$\Phi (S_i)$[/tex] è la scarpa sinistra o quella destra.
Quest'ultima costruzione non si può fare nella classe [tex]$\mathcal{C}=\{ C_i\}_{i\in I}$[/tex], poichè in [tex]$C_i$[/tex] è impossibile distinguere la calza destra da quella sinistra: pertanto, sei costretto ad invocare AC per garantire l'esistenza di una funzione di scelta in [tex]$\mathcal{C}$[/tex].
Spero di essere stato abbastanza chiaro (dato che mi occupo d'altro...).
Se non sei del tutto convinto, aspetta che passi qualche algebrista da queste parti.
P.S.: Anzi, ora sposto in Algebra, che mi pare la stanza più adatta.
Grazie per la risposta e per aver spostato nella sezione adatta, in realtà ero indecisa sul postare...
Comunque sei stato perfettamente chiaro!
Quindi, se ho capito bene, il "succo" di questo esempio è che l'esistenza non equivale alla costruibilità, giusto? O forse ho ridotto la questione troppo ai minimi termini?
In ogni caso, mi sa che devo correre ai ripari e rivedere un pò di teoria degli insiemi....
Comunque sei stato perfettamente chiaro!
Quindi, se ho capito bene, il "succo" di questo esempio è che l'esistenza non equivale alla costruibilità, giusto? O forse ho ridotto la questione troppo ai minimi termini?
In ogni caso, mi sa che devo correre ai ripari e rivedere un pò di teoria degli insiemi....
Scusa Gugo ma chi è (se possiamo saperlo) l'inquietante orientale che compare nella foto della tua firma?
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