Esempio centralizzante
Ciao a tutt.
Ho provato a svolgere un'applicazione del teorema che dice che se $G$ è un gruppo e $H$ un suo sottogruppo normale e se $x\in G\setminus H$, allora $|C_{G}(x)|=|C_{G/H}(xH)|$.
Ho provato ad applicarlo con $G=S_{4}$, $H=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$ e $x=(1,2,3,4)$.
Svolgendo i calcoli, ottengo che
$C_{G}(x)=\{g\in G: gx=xg\}=\{1,(1,2,3,4),(1,4,3,2),(1,3)(2,4)\}$ e
$C_{G/H}(xH)=\{gH\in G/H: gHxH=xHgH\}=\{gH\in G/H: [g,x]\in H\}=\{H,(1,3)H\}$ e naturalmente i due ordini non coincidono.
Dov'è che sbaglio?
Ci sto provando da un giorno e mezzo e non riesco a capire l'errore.
Grazie a tutti per l'aiuto...
Ho provato a svolgere un'applicazione del teorema che dice che se $G$ è un gruppo e $H$ un suo sottogruppo normale e se $x\in G\setminus H$, allora $|C_{G}(x)|=|C_{G/H}(xH)|$.
Ho provato ad applicarlo con $G=S_{4}$, $H=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$ e $x=(1,2,3,4)$.
Svolgendo i calcoli, ottengo che
$C_{G}(x)=\{g\in G: gx=xg\}=\{1,(1,2,3,4),(1,4,3,2),(1,3)(2,4)\}$ e
$C_{G/H}(xH)=\{gH\in G/H: gHxH=xHgH\}=\{gH\in G/H: [g,x]\in H\}=\{H,(1,3)H\}$ e naturalmente i due ordini non coincidono.
Dov'è che sbaglio?
Ci sto provando da un giorno e mezzo e non riesco a capire l'errore.
Grazie a tutti per l'aiuto...
Risposte
Quel teorema non dice il vero, e quello che hai fornito è un controesempio. A che testo/dispensa stai facendo riferimento?
ah ecco perchè...sto facendo riferimento al testo di Camina e il titolo è "some conditions which almost characterize Frobenius groups"....phdtree.org/pdf/39085945-some-conditions-which-almost-characterize-frobenius-groups...si tratta del lemma 1
Ma in quella sezione suppone come ipotesi che G verifica l'ipotesi (F2). L'ipotesi (F2) è molto forte e il tuo controesempio sopra non la verifica.
si, infatti...ho visto ora...mentre per S3 vale sempre questo lemma, per S4 vale solo per 3-cicli...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo