Equivalenza
Ciao a tutti avrei una domanda su questo problema,
sia X un insieme e ~ la relazione su [tex]X^X[/tex] definita, per ogni f,g [tex]\in X^X[/tex], da f~g se esiste una biiezione h di X in X tale che [tex]f=h\circ g \circ h^{-1}[/tex].
Si dimostri che ~ è un'equivalenza.
Per quanto riguarda la simmetria si può dire che prendendo h come l'applicazione identica di X id (che è biiettiva) si ha [tex]f=id\circ g \circ id^{-1} \Rightarrow f=g[/tex] e quindi [tex]g=f[/tex] da cui [tex]g=id\circ g \circ id^{-1}[/tex] e quindi g~f?
sia X un insieme e ~ la relazione su [tex]X^X[/tex] definita, per ogni f,g [tex]\in X^X[/tex], da f~g se esiste una biiezione h di X in X tale che [tex]f=h\circ g \circ h^{-1}[/tex].
Si dimostri che ~ è un'equivalenza.
Per quanto riguarda la simmetria si può dire che prendendo h come l'applicazione identica di X id (che è biiettiva) si ha [tex]f=id\circ g \circ id^{-1} \Rightarrow f=g[/tex] e quindi [tex]g=f[/tex] da cui [tex]g=id\circ g \circ id^{-1}[/tex] e quindi g~f?
Risposte
No, ché non è detto che $f=g$.
Più semplicemente, se $\exists h \in X^X$, bijettiva t.c $f=hgh^(-1)$, componendo a sinistra per $h^(-1)$, a destra per $h$ hai che $h^{-1}fh=g$, poni $y=h^{-1}$, $y$ è bijettiva (ché inversa di una applicazione bigettiva) e dunque $g$ è in relazione con $f$.
Tutto chiaro?
Più semplicemente, se $\exists h \in X^X$, bijettiva t.c $f=hgh^(-1)$, componendo a sinistra per $h^(-1)$, a destra per $h$ hai che $h^{-1}fh=g$, poni $y=h^{-1}$, $y$ è bijettiva (ché inversa di una applicazione bigettiva) e dunque $g$ è in relazione con $f$.
Tutto chiaro?
Sisi, grazie
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