Equipotenza tra insiemi.

[Pasquale 90]

Buongiorno,

Sto tentando di svolgere il seguente eserczio:
Siano $X,Y,S$ insiemi, per cui se \(\displaystyle X \sim Y \), risuta $X^S$ \(\displaystyle \sim \) $Y^S$.

Ho provato a svolgerlo nella seguente maniera:

Per ricordarci $X^S={f:S to X| "f applicazione"}$, $Y^S={g:S to Y| "g applicazione"}$, inoltre,
\(\displaystyle X \sim Y \) $: leftrightarrow exists\ \ alpha\|\ alpha \:\ X to Y$, con $alpha$ applicazione biettiva.

La tesi consiste nel costruire una funzione $L$ che va da $X^S$ in $Y^S$ la quale risulti essere biettiva, potrei prendere in considerazione

$L\:\ f in X^S \to\ L(f) in Y^S$, dove $L(f):=alpha circ f : S to Y$, quindi $L(f) in Y^S. $

Siano $f_1, f_2 in X^S\:\ L(f_1)=L(f_2)$, quindi $L(f_1)=L(f_2) : leftrightarrow alpha circ f_1=alpha circ f_2$, poiché $alpha$ risulta essere biettiva, in particolare iniettiva allora risulta essere cancellabile a sinistra, quindi da $alpha circ f_1=alpha circ f_2$ segue $f_1=f_2$. Allora $L$ è iniettiva.

Per come è stata definita $L$ risulta essere suriettiva.
Quindi $L$ è biettiva, allora $X^S$ ed $Y^S$ sono equipotenti.

E' fatto bene ?

Ciao

[marco2132k]

Non ho letto tutto, ma l'idea di fondo è giusta.

C'è anche un modo molto più semplice di dimostrare quello che chiedi, ma occorre introdurre un po' di terminologia e magari disegnare qualche diagramma (cosa non scontata di questi tempi, sembra).

[Pasquale 90]

ciao marco2132K grazie per la risposta.
Cosa intendi in modo più semplice ? Sostanzialmente ho scritto solo tre righe poi il resto e solo un richiamo

[marco2132k]

Intendo che associare
\[
\begin{aligned}
X&\mapsto \hom(S,X) := X^S\\
f&\mapsto f\circ{-}
\end{aligned}
\] dà un funtore \( \mathit{Sets}\to\mathit{Sets} \). Dimostrato ciò (eventualmente), hai finito, perché i funtori preservano gli isomorfismi.

I funtori non sono argomento di algebra 1, sigh, quindi puoi ignorarmi.

[Pasquale 90]

Ciao, dovrei sapere qualcosina su: https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_delle_categorie
Quindi dovrei dimostrare che esiste un funtore, cioè una mappa=applicazione ? tra due categorie, poichè i funtori ne conservano le strutture.

Dovrei fare questo ?

[solaàl]

E' sufficiente che fai vedere queste cose:

1. \(F : X\mapsto X^S\) è definita da \(\sf Set\) ("la grande scatola che contiene tutti gli insiemi") a \(\sf Set\)
2. Ad ogni funzione \(u : A \to B\) tra due insiemi associ una funzione \(F(u) = u^S : A^S \to B^S\); questo è quello che viene detto da 2132k due commenti sopra.
3. \(F(u\circ v)=F(u)\circ F(v)\), e \(F(1_A)=1_{FA}\), cioé $F$ rispetta la composizione di funzioni e manda l'identità di $A$ nell'identità di \(A^S\).

Da 3 segue che $F$ deve mandare isomorfismi in isomorfismi: nello stesso modo, e per lo stesso motivo per cui, un omomorfismo di monoidi deve mandare elementi invertibili in elementi invertibili.