Equazioni Ricorsive: dubbi sulle Sommatorie

[TimeLess1]

Buongiorno a tutti, premetto che la teoria mi è abbastanza chiara e gli esercizi che andrò a proporre riesco bene o male a capirli per la maggiorparte se non fosse per alcune stranezze o problemi ad applicare le proprietà delle sommatorie che pergiunta mi sono scritto apparte in un foglio, ma nonostante ciò molti passaggi nelle soluzioni degli esercizi vengono dati per scontato quindi avvolte mi perdo .

1) Equazione ricorsiva del 1° ordine,lineare,a coeff. costanti: $ a_n = 1/2*S_(n-1) + 2^n , a_0 = 4 $:

Soluzione:

a) i termini dell'equzione di 1° ordine sono: $ b = 1/2$, $d(n) = 2^n$, $ m=0$ e $a_0=4$

b)poiche è di 1° ordine,lineare a coefficienti costanti uso la formula seguente:

$ a_n = b^(n-m)*( c + sum_(i=1)^(n-m) * d(m+i)*b^-i)$

c)svolgimento:

$ a_n= b^n*( a_0 +sum_(i=1)^n * d(i)*b^-i) = 1/(2^n)*(4+sum_(i=1)^(n)2^i* 1/(2^-i))
= 1/(2^n)*(4+sum_(i=1)^(n)2^(2i)) = 1/(2^n)*(4+sum_(i=1)^(n)4^i) =...$

ora usa la progressione geometrica di ragione q, ossia : $ sum_(i=m)^n q^i = q^m*(1-q^(n-m+1)/(1-q))$ :

$=... 1/(2^n)*(4+ (1-4^(n+1))/(1-4)-1)= 1/(2^n)*(3+(4^(n+1)-1)/3)= 1/(2^n)*(4^(n+1)+8)/3 = 4/3 2^n+8/3 2^-n $

Non riesco a capire, ma subito dopo aver usalo la progressione geometrica di ragione q non dovrebbe venire in parentesi:

$ =... 1/(2^n)*(4+ 1 *(1-4^(n+1))/(1-4))$ , da dove esce quel $-1$ ? è percaso un errore di testo?

[TimeLess1]

Ho corretto alcuni errori presenti nella formula della progressione geometrica e altre piccole imprecisioni. A breve provo a postare magari un altro esercizio un po meno mistico di questo,dove magari l'errore commesso è di tipo algebrico anzichè testuale( anche se fino ad ora nessuno mi ha confermato oppure smentito se si tratta di un possibile errore di testo)