Equazioni diofantee in piu' variabili

[Oliver Heaviside]

Ho ripreso le equazioni diofantee lineari e, facilmente , ho risolto una con 8 variabili:

$2x+3y+5z+7p+11q+13r+17w+19k=$
Una domanda già posta in passato e alla quale non sono riuscito ad avere risposta (nemmeno da un docente di teoria dei numeri) : che metodi si possono usare per risolvere equazioni con piu' di 3 variabili ?
Posterò poi la soluzione.
Grazie
Oliver
P.S. la mia soluzione richiede complessivamente 2 pagine..

[hydro1]

Manca la parte a destra dell'uguale.

[Oliver Heaviside]

grazie mille, mi scuso tanto a destra c'è n..
Di nuovo mi scuso per la distrazione..

[hydro1]

Non serve un docente di teoria dei numeri, basta un minimo di algebra commutativa. Determinare se l'equazione ammette soluzioni è molto semplice: il gcd dei coefficienti deve ovviamente dividere $n$, e viceversa se questo succede l'equazione ammette soluzioni per il teorema cinese del resto. Trovarne una specifica è altresì semplice: supponi di avere $\sum a_ix_i=n$, dove avendo diviso tutta l'espressione per il gcd dei coefficienti puoi supporre che $\gcd(a_1,\ldots,a_n)=1$. Adesso scrivi il gcd $d_1$ di $a_1,a_2$ usando Bezout: troverai una soluzione della forma $a_1\bar{x}_1+a_2\bar{x}_2=d_1$. Ora puoi sostituire nella tua espressione $\sum a_ix_i=1$ le prime due variabili con un multiplo di $d_1$, ovvero ti sei ridotto a risolvere $d_1y_1+\sum_{i\ge 3}a_ix_i=n$, che è sempre risolubile perchè il gcd dei coefficienti è $1$ per costruzione. Adesso questa la sai risolvere per induzione, perchè ha una variabile in meno. Diciamo che $\bar{y}_1,\bar{x}_3,\ldots,\bar{x}_n$ sia una soluzione; una soluzione dell'equazione originaria è $\bar{y}_1\bar{x}_1,\bar{y}_1\bar{x}_2,\bar{x}_3,\ldots,\bar{x}_n$.

Una volta che hai trovato una soluzione particolare, tutte le altre si trovano aggiungendo elementi del nucleo della forma lineare $\sum_ia_ix_i=0$, che sono uno $\mathbb Z$-modulo libero di rango $n-1$. Scrivere una base del nucleo è questione di algebra lineare elementare.

Il tuo caso è ancora più semplice perchè i coefficienti sono tutti coprimi a due a due. Una soluzione particolare quindi è, per esempio, $x=-n$, $y=n$ e tutte le altre variabili $=0$. Ora devi scrivere una base del nucleo della forma lineare corrispondente, ma anche questo è semplice perchè per ogni valore fissato delle variabili $z,\ldots,k$, puoi ridurti a risolvere l'equazione diofantea in due variabili $2x+3y=-5z-\ldots-19k$.