Equazioni diofantee e il variare di h
Salve a tutti, stavo svolgendo il seguente esercizio:
Devo fare un mazzo di 15 fiori spendendo in tutto 25euro
Contando che posso scegliere tra i seguenti fiori:
Orchidee che costano 5€
Rose che costano 2€
Tulipani che costano 1€
E devo metterci dentro almeno 3 rose.
Ho assegnato ai vari fiori delle variabili, rispettivamente x,y,z e ho messo tutto a sistema arrivandomi a creare la mia equazione diofantea:
$4x+y=10$
Essendo il $MCD(4,1)=1|10$ posso affermare che ha soluzioni e banalmente posso dire che sicuramente la coppia ordinata (1,6) è una delle nostre soluzioni.
Per trovarle tutte uso una formula che, di cui non so il nome e ne la dimostrazione che dice che:
$(x0 + b/d * h; y0 -a/d * h)$ sono tutte le possibili soluzioni della mia equazione diofantea. Ovvero il primo membro sono le nostre x, il secondo membro le nostre y.Da qui mi calcolo anche Z che tra i calcoli per risolvere il precedente sistema ho che Z=15-x-y ovvero z=8+3h.
In conclusione devo trovare, mettendo tutti questi dati a sistema di disequazioni, come può variare H e quindi come posso fare questo mazzo di fiori, quindi arrivo alla seguente disequazione:
$\{(1+h >= 0),(6-4h >= 3),(8+3h >= 0):}$
facendo i calcoli ottengo questo:
$\{(h>= -1),(h<=3/4),(h >= -8/3):}$
Ora il punto in cui mi perdo è trovare le soluzioni di questo sistema tramite rappresentazione grafica di tutte le soluzioni, ovvero nel calcolo del segno.
I miei calcoli dicono, non so se sbagliato o meno, che h è soddisfatta per tutti i numeri minori di $-8/3$ e per tutti i numeri tra $-1$ e $3/4$ mentre la dimostrazione della professoressa dice che le uniche due soluzioni sono -1 e 0.
Secondo quale procedimento logico dice questo?
Daccordo scarto 3/4 e prendo la cifra precedente perche stiamo parlando di numeri interi. $-8/3$ invece è -2,qualcosa, non dovrei prendere anche tutte le soluzioni minori di -2? Ovvero per quale procedimento logico ha scartato tutte quelle soluzioni?
Devo fare un mazzo di 15 fiori spendendo in tutto 25euro
Contando che posso scegliere tra i seguenti fiori:
Orchidee che costano 5€
Rose che costano 2€
Tulipani che costano 1€
E devo metterci dentro almeno 3 rose.
Ho assegnato ai vari fiori delle variabili, rispettivamente x,y,z e ho messo tutto a sistema arrivandomi a creare la mia equazione diofantea:
$4x+y=10$
Essendo il $MCD(4,1)=1|10$ posso affermare che ha soluzioni e banalmente posso dire che sicuramente la coppia ordinata (1,6) è una delle nostre soluzioni.
Per trovarle tutte uso una formula che, di cui non so il nome e ne la dimostrazione che dice che:
$(x0 + b/d * h; y0 -a/d * h)$ sono tutte le possibili soluzioni della mia equazione diofantea. Ovvero il primo membro sono le nostre x, il secondo membro le nostre y.Da qui mi calcolo anche Z che tra i calcoli per risolvere il precedente sistema ho che Z=15-x-y ovvero z=8+3h.
In conclusione devo trovare, mettendo tutti questi dati a sistema di disequazioni, come può variare H e quindi come posso fare questo mazzo di fiori, quindi arrivo alla seguente disequazione:
$\{(1+h >= 0),(6-4h >= 3),(8+3h >= 0):}$
facendo i calcoli ottengo questo:
$\{(h>= -1),(h<=3/4),(h >= -8/3):}$
Ora il punto in cui mi perdo è trovare le soluzioni di questo sistema tramite rappresentazione grafica di tutte le soluzioni, ovvero nel calcolo del segno.
I miei calcoli dicono, non so se sbagliato o meno, che h è soddisfatta per tutti i numeri minori di $-8/3$ e per tutti i numeri tra $-1$ e $3/4$ mentre la dimostrazione della professoressa dice che le uniche due soluzioni sono -1 e 0.
Secondo quale procedimento logico dice questo?
Daccordo scarto 3/4 e prendo la cifra precedente perche stiamo parlando di numeri interi. $-8/3$ invece è -2,qualcosa, non dovrei prendere anche tutte le soluzioni minori di -2? Ovvero per quale procedimento logico ha scartato tutte quelle soluzioni?
Risposte
L'equazione:
$ 2r+t+4o=10$
$2r+t+4o\equiv10(2)$
Da cui $t\equiv0(2)$, quindi le possibilità sono $t \in {0,2,4,6,8,10)$. Essendo le rose almeno $3$ allora $2r>=6$ e quindi $4o+t<=4$ da cui ci riduciamo a $t\in {0,2,4}$
Se $t=0$ allora $r=3$ e $o=1$.
Se $t=2$ allora $r=4$ e $o=0$.
Se $t=4$ allora $r=3$ e $o=0$.
Che sono le soluzioni.
$ 2r+t+4o=10$
$2r+t+4o\equiv10(2)$
Da cui $t\equiv0(2)$, quindi le possibilità sono $t \in {0,2,4,6,8,10)$. Essendo le rose almeno $3$ allora $2r>=6$ e quindi $4o+t<=4$ da cui ci riduciamo a $t\in {0,2,4}$
Se $t=0$ allora $r=3$ e $o=1$.
Se $t=2$ allora $r=4$ e $o=0$.
Se $t=4$ allora $r=3$ e $o=0$.
Che sono le soluzioni.
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