Equazioni diofantee con tre variabili

[Desirio]

Buongiorno, in generale se ho un'equaizone diofantea a due variabili lineare sdel tipo $ax + by = n$ so che ammette soluzione se e solo se $(a,b) | n$ e in questo caso esprimo come combinazione lineare di $a$ e $b$ il massimo comun divisore $d = (a,b) = \alpha a + \beta b$ e moltiplicando ambo i lati dell'equazione per $\frac{n}{d}$ si ottiene la soluzione particolare dell'equazione.
Data poi una soluzione particolare $(\bar{x}, \bar{y})$ so che tutte le soluzioni sono nell'insieme $\lbrace (\bar{x} + \frac{b}{d}t, \bar{y} - \frac{a}{d}t)$ al variare di $t$ in $Z$.

Ma se ho un'equazione del tipo $ax + by + cz = n$ e trovo una soluzione particolare $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ poi come faccio a trovare le altre?

[Desirio]

So che devo trovare la soluzione dell'equazione omogenea associata. Ovvero se prendo una soluzione $(x',y',z')$ si ha che si deve avere $ax' + by' +cz' = n = a\bar{x} + b\bar{y} + c\bar{z}$. Dividendo tutto per $d = (a,b,c)$ si ottiene$\frac{a}{d}x' + \frac{b}{d}y' +\frac{c}{d}z' = \frac{a}{d}\bar{x} + \frac{b}{d}\bar{y} + \frac{c}{d}\bar{z}$. E ora?

[Stickelberger]

Siano $a_1,\ldots, a_n,b\in ZZ$ con $mcd(a_1,\ldots,a_n)=1$. Ecco un metodo per ottenere tutte
le soluzioni in $ZZ$ dell’equazione $a_1X_1+\ldots+a_nX_n=b$.

Poiche’ $mcd(a_1,\ldots,a_n)=1$ esiste una matrice $n\times n$ invertibile $M$ con coefficienti in $ZZ$
e con prima riga uguale a $(a_1,\ldots, a_n)$. Ti posso anche spiegare come calcolare $M$.

Usiamo la matrice $M$ per fare un cambiamento di variabili su $ZZ$:

$$M\pmatrix{X_1\cr \vdots\cr X_n\cr} = \pmatrix{Y_1\cr \vdots\cr Y_n\cr}
$$
In particolare, si ha che $Y_1 = a_1X_1+\ldots+a_nX_n$ e l’equazione diventa quindi $Y_1=b$.
Ovviamente le soluzioni sono date da $Y_1=b$ e $Y_2,\ldots ,Y_n$ arbitrari in $ZZ$.
Per ottenere le soluzioni in termini di $X_1,\ldots, X_n$, basta cambiare le coordinate tramite $M^{-1}$.