Equazioni diofantee a 3 incognite..
Ciao a tutti. Qualcuno potrebbe spiegarmi come sbrogliare un'equazione diofantea a 3 incognite? Perchè non mi è molto chiaro sinceramente.
A due incognite le risolvo tranquillamente, ma a tre cosa faccio? Mi serve sapere in generale come operare..
Per esempio $5x + 4y - 11t = 67.$ (è solo un esempio)
Grazie mille!
A due incognite le risolvo tranquillamente, ma a tre cosa faccio? Mi serve sapere in generale come operare..
Per esempio $5x + 4y - 11t = 67.$ (è solo un esempio)
Grazie mille!
Risposte
Mi perdonerai se forse la mia mente ricadendo nella banalità, ti dica una sciocchezza: 3 equazioni in 3 incognite, poi applichi qualsiasi metodo tu voglia, sostituzione, addizione e sottrazione, Cramer (correggetemi se sbaglio)...
"LipschitzianaMente":
Mi perdonerai se forse la mia mente ricadendo nella banalità, ti dica una sciocchezza: 3 equazioni in 3 incognite, poi applichi qualsiasi metodo tu voglia, sostituzione, addizione e sottrazione, Cramer (correggetemi se sbaglio)...
Ciao, ti ringrazio per la risposta, ma forse hai capito male: intendo UNA equazione a 3 incognite, una diofantea. Se fosse stato un sistema di 3 equazioni in 3 incognite era diverso, qua si tratta di una sola equazione, come quella che ho scritto sopra per esempio.. Come la risolveresti?
Come è possibile risolverla, hai per caso altre relazioni fra quei dati? Non mi sembra sufficiente un'equazione, è una regola che porto avanti dalle medie "n equazioni per n incognite".
forse se posti un esempio di risoluzione in due incognite, possiamo aiutarti a generalizzarlo.
comunque, io non esperta dell'argomento, ma provo comunque a darti un input. spero ti sia utile.
se consideri che 67 è congruo a 2 modulo 5, è congruo a 3 modulo 4, è congruo a 1 modulo 11, possono esserti utili le riduzioni seguenti?
${ [5x+4y=11k+1],[x+t=4h+3],[4y+4t=5j+2] :}$
è chiaro? facci sapere. ciao.
comunque, io non esperta dell'argomento, ma provo comunque a darti un input. spero ti sia utile.
se consideri che 67 è congruo a 2 modulo 5, è congruo a 3 modulo 4, è congruo a 1 modulo 11, possono esserti utili le riduzioni seguenti?
${ [5x+4y=11k+1],[x+t=4h+3],[4y+4t=5j+2] :}$
è chiaro? facci sapere. ciao.
Ti riporto quello che conosco in materia.La condizione di risolubiltà è soddisfatta dal momento che
nel caso tuo i coefficienti delle incognite sono coprìmi.Allora si inizia col risolvere la congruenza :
$5x-=67 (mod [MCD(4,11)]=1)$
Chiaramente tale congruenza è soddisfatta da qualunque valore intero relativo k di x,ovvero si può porre x=k.
In tal modo l'equazione iniziale diventa :
(1) $4y-11t=67-5k$ da cui $y=(67+11t)/4-5/4k$
Una soluzione particolare della (1) ( certamente esistente dato che i coefficienti 4 ed 11 sono coprìmi) è
$k=4u,t=3,y=25-5u$ e quindi la soluzione generale è $ (4u,25-5u-11v,3-4v)$ con u e v in Z
In definitiva è :
$(x,y,t)=(4u,25-5u-11v,3-4v)$
Al variare di u e v in Z si ha una doppia infinità di soluzioni.
Naturalmente un tale procedimento si estende facilmente al caso generale.
nel caso tuo i coefficienti delle incognite sono coprìmi.Allora si inizia col risolvere la congruenza :
$5x-=67 (mod [MCD(4,11)]=1)$
Chiaramente tale congruenza è soddisfatta da qualunque valore intero relativo k di x,ovvero si può porre x=k.
In tal modo l'equazione iniziale diventa :
(1) $4y-11t=67-5k$ da cui $y=(67+11t)/4-5/4k$
Una soluzione particolare della (1) ( certamente esistente dato che i coefficienti 4 ed 11 sono coprìmi) è
$k=4u,t=3,y=25-5u$ e quindi la soluzione generale è $ (4u,25-5u-11v,3-4v)$ con u e v in Z
In definitiva è :
$(x,y,t)=(4u,25-5u-11v,3-4v)$
Al variare di u e v in Z si ha una doppia infinità di soluzioni.
Naturalmente un tale procedimento si estende facilmente al caso generale.
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