Equazioni di ricorrenza

[netsky3]

Buongiorno a tutti,
stavo studiando equazioni di ricorrenza dalle slide della mia prof, quando sono incappato in passaggi poco chiari (dati per scontati più che altro) ma non essendo stato a lezione mi mancano alcune basi, vi riporto un esempio, sperando di saper usare i simboli che non ho mai usato.

$a_n$ = - 2$a_(n-1)$ - $a_(n-2)$
$a_0$ = 1
$a_1$ = 2

Da qui pone: $a_n$ = $\alpha^n$
ottenendo
$\alpha^n$ = -2$\alpha^(n-1)$ - $\alpha^(n-2)$
e ponendo (riporto il suo esempio) (: $\alpha^(n-2)$ ). Ma come mai questa sostituzione? Da cosa la dovrei dedurre io?
Per ottenere $\alpha^2$ = -2$\alpha$ - 1 cioè l'equazione caratteristica
che è:
$\alpha^2$ + 2$\alpha$ + 1 = 0 le cui radici sono $\alpha$ = -1 con molteciplità due.

Dopo di che inizio a non capire perchè le soluzioni dell'equazione iniziali sono date da:
$a_n$ = $A_1$ $(-1)^n$ + $A_2$ $n(-1)^n$.

Qui mi aspetterei di vedere una sorta di sostituzione dalla nostra equazione e invece non capisco, così come pure quella n non ho capito perchè sia al posto del coefficente 2 che avevo all'inizio.

Prendendo per buono quello che ha scritto poco sopra, mette a sistema le due equazioni $a_0$ e $a_1$ e risolvendo (credo per sostituzione) ottiene le soluzioni dalle condizioni iniziali

$a_0$ = $A_1$ $(-1)^0$ + $A_2$ $n(-1)^0$ $\Rightarrow$ $A_1$ = 1
$a_1$ = $A_1$ $(-1)^1$ + $A_2$ $n(-1)^1$ $\Rightarrow$ $A_1$ - $A_2$= 2

$A_1$ = 1
$A_2$ = -3
Anche qui però non è proprio chiaro come ha tirato fuori questi valori che scritto così sembrava un prodotto

Grazie anticipatamente a chi avrà la pazienza di spiegarmi come si risolve
Scusate la lunghezza del post e la stupidità delle domande

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Il motivo per cui si introduce quel polinomio è legato alla teoria delle equazioni di ricorrenza lineari omogenee (vedi per esempio qui). Cioè per dirti perché viene introdotta e perché le soluzioni sono quelle dovrei rifarti tutta la teoria dall'inizio

Quanto all'ultimo dubbio, ricorda che quando scrivi [tex]a_0 = A_1 (-1)^0 + A_2 n (-1)^0[/tex] quell' $n$ che compare dev'essere sostituito con zero, e nella riga sotto l' $n$ dev'essere sostituito con 1 (confronta con la forma generale della soluzione).