Equazioni delle classi di gruppi di ordine 8

[bestiedda2]

Buonasera a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio:

1) Determinare le possibili equazioni delle classi per i gruppi di ordine $8$.
2) Classificare i gruppi di ordine $8$.

Posto la mia soluzione parziale:
I divisori di $8$ sono $1,2,4,8$. Inoltre, nell'equazione delle classi compare almeno una volta $1$, e quindi $8$ non può comparire. Scriviamo le possibilità, e poi facciamo delle considerazioni che ci permetteranno di escluderne alcune:
\[
\begin{array}{ccccccccc}
(a) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
(b) & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2\\
(c) & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2\\
(d) & & & & 1 & 1 & 2 & 2 & 2\\
(e) & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 4\\
(f) & & & & & 1 & 1 & 2 & 4
\end{array}
\]
il numero di $1$ è uguale alla cardinalità del centro, che è un sottogruppo di $G$: questo ci permette di escludere il caso $(b)$, in quanto $6$ non divide $8$. Inoltre, $ |G |=|Z(x) ||C_{x}|$, e il centro è un sottogruppo di ogni centralizzante, per cui $|Z|\leq|Z(x)|$: questo ci permette di escludere il caso $(e)$, in quanto esiste uno stabilizzatore di ordine $2$, e quindi $Z$ non può avere ordine $4$.

Come faccio ad escludere anche i casi $c$ ed $f$?

Grazie a tutti

[bestiedda2]

UP!