Equazioni Congruenziali & Inverso Aritmetico
Ragazzi Volevo Sottoporvi Alcuni Quesiti:
Nelle equazioni congruenziali e' sempre possibile calcolare l'inverso aritmetico??C'e' una condizione per cui si possa stabilire se si puo' o meno determinare l'inverso?
Ad esempio nell'equazione $6x \equiv 9 (mod15)$ qual'e' l'inverso?
Attraverso l'algoritmo di euclide ottengo 3 = 15*1 - 2*6
inoltre -2 congruo 13 (mod15)... Quindi dovrebbe essere 13?
Inoltre nella medesima equazione e' possibile dividere tutto per 3??
Grazie Per Eventuali Risposte
Nelle equazioni congruenziali e' sempre possibile calcolare l'inverso aritmetico??C'e' una condizione per cui si possa stabilire se si puo' o meno determinare l'inverso?
Ad esempio nell'equazione $6x \equiv 9 (mod15)$ qual'e' l'inverso?
Attraverso l'algoritmo di euclide ottengo 3 = 15*1 - 2*6
inoltre -2 congruo 13 (mod15)... Quindi dovrebbe essere 13?
Inoltre nella medesima equazione e' possibile dividere tutto per 3??
Grazie Per Eventuali Risposte
Risposte
Allora andiamo con ordine.
In $ZZ_p$, campo, ogni classe ha il suo inverso.
In $ZZ_n$ solo le classi il cui rappresentante è primo con n.
Nella tua equazione, per esempio, 6 e 15 non sono coprimi, quindi 6 non ha inverso; tuttavia puoi dividere tutto per 3, a patto che cambi anche il modulo.
Per cui
$6x -=9 (mod 15)$
diventa
$2x -=3 (mod 5)$
la soluzione è quindi $4 (mod 5)$ e quindi $4,9,14 (mod 15)$
Ciao!
In $ZZ_p$, campo, ogni classe ha il suo inverso.
In $ZZ_n$ solo le classi il cui rappresentante è primo con n.
Nella tua equazione, per esempio, 6 e 15 non sono coprimi, quindi 6 non ha inverso; tuttavia puoi dividere tutto per 3, a patto che cambi anche il modulo.
Per cui
$6x -=9 (mod 15)$
diventa
$2x -=3 (mod 5)$
la soluzione è quindi $4 (mod 5)$ e quindi $4,9,14 (mod 15)$
Ciao!
Ok Quindi posso dividere tutto a patto di dividere anche il modulo ^^
Ti Ringrazio per le delucidazioni ^^
Un altra domanda una volta diviso tutto per tre ottengo come soluzione 4(mod 5)
come si ottengono le soluzioni in mod 15?
Ti Ringrazio per le delucidazioni ^^
Un altra domanda una volta diviso tutto per tre ottengo come soluzione 4(mod 5)
come si ottengono le soluzioni in mod 15?
Prego figurati!
Dunque, una volta che hai trovato:
$4 (mod5)$
non ti resta che osservare che i numeri minori di 15 che "vivono" nella classe 4 (mod 5) sono appunto
$4, 9$ e $14$
Dunque, una volta che hai trovato:
$4 (mod5)$
non ti resta che osservare che i numeri minori di 15 che "vivono" nella classe 4 (mod 5) sono appunto
$4, 9$ e $14$
Capito ^_^
Grazie Mille Per La Tua Disponibilita'
Approfitto di questo Topic Per Chiedere Un Ulteriore Informazione Se Possibile
Non Ho Capito Come Utilizzare Il Teorema cinese del resto Per La Risoluzione Dei Sistemi Di Congruenze
Ovvero ho capito come determinare se e' compatibile o meno ma poi come posso sfruttare il teorema?
Grazie Mille Per La Tua Disponibilita'
Approfitto di questo Topic Per Chiedere Un Ulteriore Informazione Se Possibile
Non Ho Capito Come Utilizzare Il Teorema cinese del resto Per La Risoluzione Dei Sistemi Di Congruenze
Ovvero ho capito come determinare se e' compatibile o meno ma poi come posso sfruttare il teorema?
E' davvero molto semplice risolvere un sistema di conguenze usando il Teorema cinese dei resti (qualora fosse, chiaramente, compatibile).
Prova a postare un esempio e magari una tua prova per risolverlo così ti diamo una mano nella risoluzione!
[/asvg]
Prova a postare un esempio e magari una tua prova per risolverlo così ti diamo una mano nella risoluzione!
[/asvg]
Ecco Proviamo con questo
L'ho letto qualche giorno fa in un topic qui sul forum ^^
$\{(2x-=1(mod 3)),(7x-=5(mod 22)):}$
L'ho letto qualche giorno fa in un topic qui sul forum ^^
$\{(2x-=1(mod 3)),(7x-=5(mod 22)):}$
Dunque è passato quasi un anno da quando ho seguito il corso di algebra.
Provo a vedere se riesco a spiegarmi bene e intanto ripasso un po'.
e quindi questa parte la ometto.
Prima di tutto porta il sistema così:
${(x -= a_1 (mod n_1)),(x-= a_2 (mod n_2)):}$
Ora indica il prodotto dei moduli con $R$:
$R=n_1*n_2$
Se ricalcoli il coefficiente per ogni equazione in questo modo
$R_k=R/n_k$ --> $R_k*x_k -=a_k (mod n_k)$
la soluzione del sistema $mod R$ sarà: $X = R_1*x_1+R_2*x_2 $
(con $x_k$ la soluzione di ogni equazione che hai costruito)
perchè, e ti invito a verificarlo, $X -=R_k*x_k -= a_k (mod n_k)$ per ogni k.
Spero di essere stato utile! Ciao!
Provo a vedere se riesco a spiegarmi bene e intanto ripasso un po'.
"M.C.D.":
ho capito come determinare se e' compatibile o meno
e quindi questa parte la ometto.
Prima di tutto porta il sistema così:
${(x -= a_1 (mod n_1)),(x-= a_2 (mod n_2)):}$
Ora indica il prodotto dei moduli con $R$:
$R=n_1*n_2$
Se ricalcoli il coefficiente per ogni equazione in questo modo
$R_k=R/n_k$ --> $R_k*x_k -=a_k (mod n_k)$
la soluzione del sistema $mod R$ sarà: $X = R_1*x_1+R_2*x_2 $
(con $x_k$ la soluzione di ogni equazione che hai costruito)
perchè, e ti invito a verificarlo, $X -=R_k*x_k -= a_k (mod n_k)$ per ogni k.
Spero di essere stato utile! Ciao!
Quindi...vediamo se ho capito:
Ho il sistema:
$\{(2x-=1(mod 3)),(7x-=5(mod 22)):}$
Dopodiche' lo porto nella forma:
$\{(x-=2(mod 3)),(x-=7(mod 22)):}$
Ora il Prodotto dei moduli e' : $R= 22*3 =66$
Ricolcolo il coefficiente per ogni equazione ed ottengo:
$\{(22x-=1(mod 3)),(3x-=7(mod 22)):}$
Fin Qui e' esatto??
Ho il sistema:
$\{(2x-=1(mod 3)),(7x-=5(mod 22)):}$
Dopodiche' lo porto nella forma:
$\{(x-=2(mod 3)),(x-=7(mod 22)):}$
Ora il Prodotto dei moduli e' : $R= 22*3 =66$
Ricolcolo il coefficiente per ogni equazione ed ottengo:
$\{(22x-=1(mod 3)),(3x-=7(mod 22)):}$
Fin Qui e' esatto??
Ciao di nuovo!
Credo sia solo un errore di copiatura... ma proprio l'ultimo passaggio ci dovrebbe essere un 2 al posto dell'uno che hai scritto tu.
$\{(22x-= 2 (mod3)),(3x -= 7 (mod 22)):}$
Per scrupolo ho poi fatto tutti i calcoli proseguendo su questa strada, e sembra proprio venire.
A te invece?
Ciao!
Credo sia solo un errore di copiatura... ma proprio l'ultimo passaggio ci dovrebbe essere un 2 al posto dell'uno che hai scritto tu.
$\{(22x-= 2 (mod3)),(3x -= 7 (mod 22)):}$
Per scrupolo ho poi fatto tutti i calcoli proseguendo su questa strada, e sembra proprio venire.
A te invece?
Ciao!
Si e' vero e' un errore di copiatura ^^
Quindi:
$\{(22x-= 2 (mod3)),(3x -= 7 (mod 22)):}$
Da cui:
$\{(x-= 2 (mod3)),(x -= 17 (mod 22)):}$
Ora seguendo cio' che mi hai detto
la soluzione del sistema $mod R$ sarà: $X = R_1*x_1+R_2*x_2 $
Quando dici $x_1, *x_2 $ intendi anche le soluzioni iniziali?
ovvero del sistema:
$\{(x-=2(mod 3)),(x-=7(mod 22)):}$ ??
Quindi:
$\{(22x-= 2 (mod3)),(3x -= 7 (mod 22)):}$
Da cui:
$\{(x-= 2 (mod3)),(x -= 17 (mod 22)):}$
Ora seguendo cio' che mi hai detto
la soluzione del sistema $mod R$ sarà: $X = R_1*x_1+R_2*x_2 $
Quando dici $x_1, *x_2 $ intendi anche le soluzioni iniziali?
ovvero del sistema:
$\{(x-=2(mod 3)),(x-=7(mod 22)):}$ ??
Caspita hai fatto bene a mandarmi un mp che non avevo visto la tua risposta.
Perdonami il ritardo:
Quando dico $x_1$ e $x_2$ intendo:
$x_1=2$
$x_2=7$
Quindi $X = 2*22+3*17 = 95 (mod 66) = 29 (mod 66)$
Che funziona nelle equazioni iniziali... giusto no?
Perdonami il ritardo:
Quando dico $x_1$ e $x_2$ intendo:
$x_1=2$
$x_2=7$
Quindi $X = 2*22+3*17 = 95 (mod 66) = 29 (mod 66)$
Che funziona nelle equazioni iniziali... giusto no?
Perfetto ^^
E' molto semplice
ti ringrazio per la disponibilita' e per la chiarezza nella spiegazione
E' molto semplice
ti ringrazio per la disponibilita' e per la chiarezza nella spiegazione
Si, è vero! E' semplice, e soprattutto utile perchè funziona anche con sistemi di 3 o più equazioni congruenziali...
Alla prossima!
Alla prossima!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo