Equazioni congruenziale

[faby99s]

buongiorno cerco il vostro aiuto per risolvere questa equazione congruenziale:
5x=4(mod8)

grazie in anticipo

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ciao,
Stai lavorando in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} \). I tuoi elementi sono i rappresentanti delle classi di equivalenza.
Quello che devi cercare sostanzialmente è il rappresentante della/e classe/i di equialenza che soddisfa l'equazione \( 5x=4 \) tenendo presente che lavori in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\). Io personalmente cercherei l'inverso moltiplicativo di \( 5 \) in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) (che è unico se esiste). D'ora in avanti lo chiamerò \( 5^{-1} \), e moltiplicherei a sinistra l'equazione per l'inverso ottenendo \(1\cdot x = 5^{-1} \cdot 4 \), ottenendo il risultato.
Ora un paio di considerazioni è d'obbligo farle, dal momento \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) è un anello commutativo unitario (credo si dica cosi in italiano), con unità 1, non è necessariamente detto che ciascun elemento possiede un inverso moltiplicativo, infatti se \( a \) è un divisore di zero allora \( a \) non è inversibile. Ad esempio in \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), \( 3 \cdot 4 = 12 = 0 \) e dunque nessun elemento di \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) moltiplicato per 3 ti da come risultato 1 (elemento neutro), ergo non è inversibile.
\( 1\cdot 3=3\), \( 2\cdot 3=0\), \( 3\cdot 3=3\), \( 4\cdot 3=0\), \( 5\cdot 3=3\).
Quali sono gli elementi inversibili di \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) e per ciascuno di essi, quali sono gli inversi moltiplicativi?
Quali sono gli elementi inversibili di \( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \) ?

[faby99s]

scusa ma quindi la soluzione è x=5^(-1)4?

in Z8 sono 1,3,5,7
in Z7 sono 1,3,5

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"sara09":scusa ma quindi la soluzione è x=5^(-1)4?

Si ma quanto vale \( 5^{-1} \) in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \)?? E quanto vale \( 5^{-1} \cdot 4 \) in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \), ovvero a quale classe di equivalenza appartiene??

"sara09":
in Z7 sono 1,3,5

Sei sicura? \( a^{-1} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) è elemento inverso per la moltiplicazione di \(a \) se \( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \)

[faby99s]

ah no scusa in z7 sono tutti invertibili giusto?

Si ma quanto vale 5−1 in Z/8Z?? a 4?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"sara09":ah no scusa in z7 sono tutti invertibili giusto?

Si giusto!
Infatti \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) con \(p \) un numero primo è un campo.

"sara09":
Si ma quanto vale 5−1 in Z/8Z?? a 4?

No \( 5^{-1} \neq 4 \), come cerchi l'inverso? Prova a fare \( 5 \cdot 4 = 20 \neq 1 \), bensì \( 5 \cdot 5 = 25=1 \) dunque \( 5^{-1} = 5 \). Ora, quanto fa \( 5^{-1} \cdot 4 \) ?

[faby99s]

"sara09":
Si ma quanto vale 5−1 in Z/8Z?? a 4?

No \( 5^{-1} \neq 4 \), come cerchi l'inverso? Prova a fare \( 5 \cdot 4 = 20 \neq 1 \), bensì \( 5 \cdot 5 = 25=1 \) dunque \( 5^{-1} = 5 \). Ora, quanto fa \( 5^{-1} \cdot 4 \) ?[/quote]

fa 20 giusto?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"sara09":
fa 20 giusto?

Si giusto, dunque quanto fa in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) ? E quindi qual'è la soluzione della tua equazione?

[faby99s]

12 giusto?
scusa per quanto riguarda i neutri in un esercizio di dice di calcolare i neutri a destra e i neutri a sinistra e i neutri ora i neutri a destra ci sono ma secondo te è possibile che il neutro a destra e la coppia (1,b)?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"sara09":12 giusto?

Come fa a fare 12 se lavori in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7\} \)?? Cosa hai fatto per ottenere 12?

"sara09":
scusa per quanto riguarda i neutri in un esercizio di dice di calcolare i neutri a destra e i neutri a sinistra e i neutri ora i neutri a destra ci sono ma secondo te è possibile che il neutro a destra e la coppia (1,b)?

Scusami ma non ho capito, potresti spiegarti meglio?

[faby99s]

"3m0o":[quote="sara09"]12 giusto?

Come fa a fare 12 se lavori in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7\} \)?? Cosa hai fatto per ottenere 12?

"sara09":
scusa per quanto riguarda i neutri in un esercizio di dice di calcolare i neutri a destra e i neutri a sinistra e i neutri ora i neutri a destra ci sono ma secondo te è possibile che il neutro a destra e la coppia (1,b)?

Scusami ma non ho capito, potresti spiegarti meglio? [/quote]
dicevo e possibile avere una coppia che e neutra a sinistra costituita da (1,b)?

[faby99s]

dicevo e possibile avere una coppia di neutri a destra costituita da (1,b)? oppure in tal caso non esistono neutri a destra?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ma una coppia di cosa? I tuoi elementi appartengono a quale spazio? Per neutro intendi elemento neutro? Se si rispetto a quale legge di composizione? Cos'è b?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"3m0o":
Come fa a fare 12 se lavori in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7\} \)?? Cosa hai fatto per ottenere 12?

Mi sono spiegato male,in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \), abbiamo che \( 12=20 \) ma a me interessava appunto un elemento tra \( 0 \) e \( 7 \).

[faby99s]

allora ho che s=z16 e ho che (a,b)*(c,d)=(ac,b)
i neutri a sinistra l'ho trovato facendo:
(e,f) e neutro a sinistra <-> (e,f)*(a,b)=(a,b) <-> (ae,f)=(a,b)
da cio ottengo che ae= a quindi e=1 ma f=b
quindi ho la coppia(1,b) che dovrebbe essere neutro a sinistra.....ho fatto cosi

[faby99s]

"3m0o":[quote="3m0o"]
Come fa a fare 12 se lavori in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7\} \)?? Cosa hai fatto per ottenere 12?

Mi sono spiegato male,in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \), abbiamo che \( 12=20 \) ma a me interessava appunto un elemento tra \( 0 \) e \( 7 \).[/quote]
quindi 4?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Si 4.

"sara09":allora ho che s=z16 e ho che (a,b)*(c,d)=(ac,b)
i neutri a sinistra l'ho trovato facendo:
(e,f) e neutro a sinistra <-> (e,f)*(a,b)=(a,b) <-> (ae,f)=(a,b)
da cio ottengo che ae= a quindi e=1 ma f=b
quindi ho la coppia(1,b) che dovrebbe essere neutro a sinistra.....ho fatto cosi

\( \cdot :\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}/16\mathbb{Z}^2 \) è definito in questo modo
\( (a,b) \cdot (c,d) = (ac,b) \)
L'elemento neutro \( e= (e_1,e_2) \) è unico
Sia \( (e_1,e_2) \) l'elemento neutro a sinistra e \( (f_1,f_2) \) l'elemento neutro a destra (prova a dimostrarlo te)

\( (e_1,e_2) = (e_1,e_2) \cdot (f_1,f_2) = (f_1,f_2) \)

Ora, non sono certissimo di quello che sto per dirti, da questo puoi concludere che nel tuo caso non esiste l'elemento neutro.
Infatti se \( (1_{\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}},b)\cdot (a,b) = (a,b) \) ma ad esempio presi \( a'\neq a \) e \( b' \neq b \) abbiamo che \( (1_{\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}},b)\cdot (a',b') = (a',b) \neq (a',b') \), dunque non è elemento neutro. Dunque \( (\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}^2,+,\cdot) \), dove \( + : \mathbb{Z}/16\mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}/16\mathbb{Z}^2 \) è definito così
\( (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) \) è un anello (non unitario) in quanto non esiste l'elemento neutro rispetto a \( \cdot \)

[faby99s]

scusa ma io mi sono calcolata il neutro a destra e il neutro a sinistra e questi sono diversi quindi come fa ad esistere un unico neutro se quello a destra esiste e quello a sinistra non esiste?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

No certo, io dicevo che non esiste un elemento neutro, ma questo non vuol dire che non esista un elemento neutro a destra. Cioé se esiste un elemento neutro a sinistra e un elemento neutro a destra allora sono uguali ed è unico, ma dal momento che in questo caso non sarebbero uguali allora un elemento neutro a sinistra non esiste. Prendi ad esempio la legge di composizione \( \odot(x,y)=y \), allora tutti gli elementi sono neutri a sinistra, ma nessuno è elemento neutro a destra.

Aggiunta:
\( e \in G\) si dice elemento neutro a sinistra se \( \forall a \in G \), \( e \cdot a= a \)
\( f \in G\) si dice elemento neutro a destra se \( \forall a \in G \), \( a \cdot f= a \)
\( g \in G\) si dice elemento neutro se \( \forall a \in G \), \( a \cdot g= g \cdot a= a \)

[faby99s]

ah okok capito grazie mille

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Però in un gruppo, l'esistenza dell elemento neutro a sinistra implica l'esistenza dell'elemento neutro a destra, infatti
\( (G,\ast)\) è un gruppo se valgono le seguenti condizioni
- Associatività di \( \ast \)
- Esistenza dell'elemento neutro a sinistra
- Esistenza dell'elemento inverso a sinistra

Prova a dimostrarlo

Dimostrazione che l'elemento inverso a sinistra è elemento inverso a destra, sia \( g \in G \) e \( g^{-1}\) l'inverso a sinistra di \( g \), e sia \( e_G \) l'elemento neutro a sinistra.
\( g \ast g^{-1} = (g^{-1})^{-1} \ast g^{-1} \ast g \ast g^{-1} = (g^{-1})^{-1} \ast e_G \ast g^{-1} = (g^{-1})^{-1} \ast g^{-1} = e_G \)
E d'altra parte
\( (g^{-1})^{-1} \ast g^{-1} \ast g \ast g^{-1} = e_G \ast g \ast g^{-1} = g \ast g^{-1} = e_G \)

Dimostrazione che l'elemento neutro a sinistra è elemento neutro a destra.
\( g \ast e_G = g \ast g^{-1} \ast g = e_G \ast g = g \)

E dunque l'unicitià la dimostri come sopra (altro commento)
Io ho messo gli assiomi con inverso a sinistra e neutro a sinistra, ma è del tutto equivalente facendo inverso a destra e neutro a destra.

Quindi sostanzialmente il fatto che in altre strutture algebriche possa esistere l'elemento neutro a sinistra e non a destra (o viceversa) deriva dal fatto che non è assicurato che ogni elemento possiede un inverso.

Infatti nel esempio di prima \( \odot(x,y)=y \) non esiste elemento inverso a sinsitra, e dunque
\(e_G=\odot(g,e_G) \neq \odot(g, \odot(g^{-1}, g )) =\odot(g, g) = g \)