Equazioni alle differenze finite

[Lord K]

Mi trovo spesso in situazioni nelle quali il modello che descrive molto bene un determinato evento è definito in maniera discreta ed è dipendente dagli stati precedenti. In particolare mi ritrovo con situazioni simili:

$x_(j)=sum_{i=1}^k p_i*f_i(x_(j-i))$
$j>i$

dove $f_i:RR rightarrow RR$ e $f_i in C^0$ $AA i$ con ovvimente $k
La domanda alla quale non ho ancora saputo darmi risposta è: esistono dei criteri per determinare a priori se questa formula ricorsiva ammette una formulazione chiusa mediante funzioni elementari?

Se sì mi dareste qualche riferimento per approfondire?

Grazie mille a tutti.

[Lord K]

Mi permetto di aggiungere anche un ulteriore esempio, diciamo, più pratico: l'equazione seguente:

$(DELTA y)/(DELTA x) = lambda * y$

potrebbe essere vista in alcuni casi particolari (quando $DELTA x$ è molto piccolo) come:

$(dy)/(dx)=lambda*y$ che porta ovviamente a $y=e^(lambda*x)+c$

Dalla prima ottengo invece:

$DELTA y=y_n-y_(n-1)$
$DELTA x=x_n-x_(n-1)$

ovvero dopo qualche conto:

$y_n = y_(n-1)/(1-lambda*(x_(n-1)-x_n))$

Se io non conoscessi il risultato precedente e mi trovassi a dover avere a che fare solo con quest'ultima (e quindi con differenze finite) e $DELTA x rightarrow 0$ come riotterrei la precedente?

[Lord K]

Mi permetto di aggiungere anche un ulteriore esempio, diciamo, più pratico: l'equazione seguente:

$(Delta y)/(Delta x) = lambda * y$

potrebbe essere vista in alcuni casi particolari (quando $Delta x$ è molto piccolo) come:

$(dy)/(dx)=lambda*y$ che porta ovviamente a $y=e^(lambda*x)+c$

Dalla prima ottengo invece:

$Delta y=y_n-y_(n-1)$
$Delta x=x_n-x_(n-1)$

ovvero dopo qualche conto:

$y_n = y_(n-1)/(1-lambda*(x_(n-1)-x_n))$

Se io non conoscessi il risultato precedente e mi trovassi a dover avere a che fare solo con quest'ultima (e quindi con differenze finite) e $Delta x rightarrow 0$ come riotterrei la precedente?