Equazione numeri complessi

[zen341]

ciao a tutti, ho un dubbio riguardo un'equazione nel campo complesso:
l'equazione è: $ (z^4- 1/ root(2)3) / (i -1) = (1-i)/2 $
che dopo vari passaggi mi porta a: $ z^4=1/root(2)3 +i $
ora, ho che $ alpha = 1/root(2)3 $ e $ beta = 1 $
da cui $ rho=root(2)(1/3+1) =root(2)(4/root(2)3) = 4/root(2)3 $
$ alpha = rho cos theta $
$ beta = rho sen theta $
$ beta /alpha = (rho sen theta) / (rho cos theta) $
sapendo che $ beta /alpha = 1 / (1/root(2)3) $ ho che
$ tan theta=root(2) 3 $ quindi
$ theta= pi/3 $
ora, la formula per ricavare le radici che ho (ma non sono sicuro che sia esatta) è:
$ z^k=rho^(1/n)(cos (alpha /n + (2kpi)/n) + i sen (alpha /n + (2kpi)/n)) $ e sostituendo avrei:
$ z^k=root(4)(2/root(2)3) (cos (4 /root(2)3 + (2kpi)/4) + i sen (4 /root(2)3 + (2kpi)/4)) , per k=0...3 $ ma non sono sicuro dell'esattezza della formula e di conseguenza del risultato finale...
se mi potete confermare o smentire ve ne sarei grato!

[Ariz93]

Non ci va \(\displaystyle \alpha \) ,ti ricordo che :
\(\displaystyle z^n=\rho^n (cos(n(\ theta+2k \pi))+i sin (n(\theta + 2k \pi))) \) quindi se invece di avere n abbiamo \(\displaystyle \frac{1}{n} \) otteniamo:

\(\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n] {z} = \sqrt[n] {\rho} (cos (\frac{\theta+2k \pi} {n} )+i sin(\frac{\theta+2k\pi} {n})\)
Con \(\displaystyle k=0,1,...,n-1 \)

[zen341]

mi scuso per il ritardo ma ho avuto problemi con internet.
ora è chiaro, ti ringrazio!

[Ariz93]

Nulla