Equazione diofoantea

[rgiordan]

Ciao a tutti,
in un esercizio mi si chiede di trovare tutte le soluzioni intere dell'equazione 13x+8y=231 e vorrei capire se il procedimento che adotto è corretto.

Verifico se l'equazione ammette soluzioni calcolando MCD(13,8) che in questo caso è appunto MCD(13,8)=1 quindi ha soluzione.

Con Bezout ho che 1 = -3 * 13 + 5 * 8 e quindi 231 = -693 * 13 + 1155 * 8 da cui una soluzione è (-693, 1155), mentre tutte le possibili soluzioni sono del tipo (-693-8t, 1155+13t).

Corretto?

Grazie.

[blackbishop13]

sì direi che è corretto.

[rgiordan]

Grazie.
E se il problema viene posto sapendo che per x'=-2 si ha una soluzione intera?

813x + 177y = 321

Io sostituisco nell'equazione x' con quello che mi viene passato come valore ed ho che 813*(-2) + 177y = 321 da cui mi ricavo la y'=11

Poi ho che x=x'+x'' = -2 + x''
e y=y'+y'' = 11 + y''

813x + 177y = 813(-2 + x'') + 177(11 + y'') = -1626 +813x'' + 177(11 + y'') = -1626 + 813x'' + 1947 + 177y'' = 813x'' + 177y'' + 321

813x'' + 177y'' = 0

y'' = -(813/177)x'' = -(271/59)x'' da cui x'' = 59t e y'' = -271t e le soluzioni intere saranno tutte del tipo:

x = -2 + 59t
y = 11 - 271t

[blackbishop13]

ok. comunque faresti bene a dividere già nell'equazione iniziale per [tex]3[/tex], infatti è più comodo se noti subito che:
[tex]813x+177y = 321[/tex] è equivalente a

[tex]271x+59y=107[/tex]

[rgiordan]

Vero, grazie.