Equazione diofantea... non le so fare!!
Ragazzi ci provo e ci riprovo ma c'è qualcosa che non capisco. Mi aiutereste a fare questo esercizio??
"Si verifichi che $S= {(1-3h,1+2h);h in Z}$ è l'insieme delle soluzioni dell'equazione diofantea $2x+3y=5$.
Sia $R$ la relazione su $S$ così definita: per ogni $h,k in Z$, $(1-3h,1+2h)R(1-3k, 1+2k) <=> 2|h+k$.
Si verifichi che $R$ è una relazione di equivalenza su $S$. Stabilire se $(-2,3)R(-8,7)$."
Non so davvero come si faccia il primo passaggio, ho letto varie guide in internet ma mi perdo nei passaggi.
Io ho iniziato così:
$d=MCD(3,2)$
$d=1$
e quindi $1|5$ "1 divide 5", quindi il sistema ha soluzioni.
Visto che il MCD è 1 posso usare l'identità di Bézout, ma è qui che mi perdo e non so continuare.
$3=1*2+1$
$2=1*2+0$
e adesso??
"Si verifichi che $S= {(1-3h,1+2h);h in Z}$ è l'insieme delle soluzioni dell'equazione diofantea $2x+3y=5$.
Sia $R$ la relazione su $S$ così definita: per ogni $h,k in Z$, $(1-3h,1+2h)R(1-3k, 1+2k) <=> 2|h+k$.
Si verifichi che $R$ è una relazione di equivalenza su $S$. Stabilire se $(-2,3)R(-8,7)$."
Non so davvero come si faccia il primo passaggio, ho letto varie guide in internet ma mi perdo nei passaggi.
Io ho iniziato così:
$d=MCD(3,2)$
$d=1$
e quindi $1|5$ "1 divide 5", quindi il sistema ha soluzioni.
Visto che il MCD è 1 posso usare l'identità di Bézout, ma è qui che mi perdo e non so continuare.
$3=1*2+1$
$2=1*2+0$
e adesso??
Risposte
Più semplicemente sostituisci per verificare che sia soluzione:
[tex]\displaystyle 2(1-3h)+3(1+2h)=2-6h+3+6h=5[/tex] c.v.d.
[tex]\displaystyle 2(1-3h)+3(1+2h)=2-6h+3+6h=5[/tex] c.v.d.
"Lord K":
Più semplicemente sostituisci per verificare che sia soluzione:
[tex]\displaystyle 2(1-3h)+3(1+2h)=2-6h+3+6h=5[/tex] c.v.d.
Ciao scusami ma non credo che la prof voglia che l'esercizio si risolva così.
Oltretutto dopo aver fatto questo come si continua?
Se ti chiede come risolvere la diofantea [tex]2x+3y=5[/tex] allora si procede come:
Esistenza soluzione di [tex]ax+by=c[/tex]
[tex]gcd(a,b)|c[/tex]
nel tuo caso effettivamente hai che: [tex]gcd(3,2)|5[/tex]!
Calcolo soluzione:
Ti proporrei di notare la seguente:
[tex]2x+3y=5[/tex]
[tex]5\equiv3y (mod 2)[/tex]
[tex]y\equiv1 (mod 2)[/tex]
quindi dispari ed allora del tipo [tex]2k+1[/tex], andiamo a sostituirlo nella diofantea:
[tex]2x+3y=5[/tex]
[tex]2x+3(2k+1)=5[/tex]
[tex]2x+6k+3=5[/tex]
[tex]2x+6k=2[/tex]
[tex]x=1-3k[/tex]
La soluzione generale è dunque del tipo [tex]\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x=1-3k, y=1+2k, k \in \mathbb{Z}\}[/tex]
Esistenza soluzione di [tex]ax+by=c[/tex]
[tex]gcd(a,b)|c[/tex]
nel tuo caso effettivamente hai che: [tex]gcd(3,2)|5[/tex]!
Calcolo soluzione:
Ti proporrei di notare la seguente:
[tex]2x+3y=5[/tex]
[tex]5\equiv3y (mod 2)[/tex]
[tex]y\equiv1 (mod 2)[/tex]
quindi dispari ed allora del tipo [tex]2k+1[/tex], andiamo a sostituirlo nella diofantea:
[tex]2x+3y=5[/tex]
[tex]2x+3(2k+1)=5[/tex]
[tex]2x+6k+3=5[/tex]
[tex]2x+6k=2[/tex]
[tex]x=1-3k[/tex]
La soluzione generale è dunque del tipo [tex]\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x=1-3k, y=1+2k, k \in \mathbb{Z}\}[/tex]
"Sandruz":
....
$d=MCD(3,2)$
$d=1$
e quindi $1|5$ "1 divide 5", quindi il sistema ha soluzioni.
Visto che il MCD è 1 posso usare l'identità di Bézout, ma è qui che mi perdo e non so continuare.
$3=1*2+1$
$2=1*2+0$
e adesso??
$1= -1*2 + 1*3$
Dunque $(-1, 1)$ è soluzione per l'equazione $2x+3y=1$
Pertanto basta moltiplicare [puntualmente] la soluzione per 5 e si ha che $(-5,5)$ è una soluzione per l'equazione $2x+3y=5$
E quindi la tutte e sole le soluzioni sono $(-5-3k,5+2k)$, $k in Z$
Ti faccio notare che ovviamente gli insiemi
$(-5-3k,5+2k)$, $k in Z$ e $(1-3h,1+2h)$, $h in Z$
coincidono (si vede alla svelta)
Se ti riferivi invece agli altri punti:
(1) Bisogna verificare che la relazione [tex]R[/tex] soddisfa le tre proprietà di riflessività, simmetria e transitività (provaci
)
(2) Qui si tratta di stabilire se dapprima le due coppie stanno in [tex]S[/tex] e poi se sono in relazione fra loro (provaci)
Se poi trovi difficoltà sono qui a darti una mano!
(1) Bisogna verificare che la relazione [tex]R[/tex] soddisfa le tre proprietà di riflessività, simmetria e transitività (provaci
)(2) Qui si tratta di stabilire se dapprima le due coppie stanno in [tex]S[/tex] e poi se sono in relazione fra loro (provaci
)Se poi trovi difficoltà sono qui a darti una mano!
Grazie Lord, grazie Gi. Adesso mi do da fare 
"Lord K":
Se ti chiede come risolvere la diofantea [tex]2x+3y=5[/tex] allora si procede come:
Esistenza soluzione di [tex]ax+by=c[/tex]
[tex]gcd(a,b)|c[/tex]
nel tuo caso effettivamente hai che: [tex]gcd(3,2)|5[/tex]!
Calcolo soluzione:
Ti proporrei di notare la seguente:
[tex]2x+3y=5[/tex]
[tex]5\equiv3y (mod 2)[/tex]
[tex]y\equiv1 (mod 2)[/tex]
quindi dispari ed allora del tipo [tex]2k+1[/tex], andiamo a sostituirlo nella diofantea:
Lord non capisco questo passaggio, alla fine la soluzione sta tutta qui. In particolare come fai a semplificare da
[tex]5\equiv3y (mod 2)[/tex]
a
[tex]y\equiv1 (mod 2)[/tex]
e perchè dici che è dispari?.
Se un numero è [tex]\equiv 1(mod2)[/tex] significa che il suo resto se lo divido per 2 è uno, ovvero un numero dispari. Analogamente prima [tex]5 \equiv 1(mod2)[/tex] anche perchè [tex]2|5-1[/tex] (definizione di mod 2) così come [tex]3 \equiv 1(mod2)[/tex].
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