Equazione diofantea lineare
Salve a tutti, su un libro che parla di equazioni diofantee vi era il seguente esercizio:
Trovare le coppie X, Y appartenenti a N che soddisfino la seguente equazione:
$ 1/x + 1/y = 1/n $
Il libro continua dicendo che l'equazione è equivalente a:
$ (x - n)(y-n) = n^2 $
Il punto è che ho provato a fare i calcoli che mi dovrebbero portare dalla prima alla seconda forma ma non riesco a dimostrare l'identità...
Qualcuno sa come dimostrarla?
Trovare le coppie X, Y appartenenti a N che soddisfino la seguente equazione:
$ 1/x + 1/y = 1/n $
Il libro continua dicendo che l'equazione è equivalente a:
$ (x - n)(y-n) = n^2 $
Il punto è che ho provato a fare i calcoli che mi dovrebbero portare dalla prima alla seconda forma ma non riesco a dimostrare l'identità...
Qualcuno sa come dimostrarla?
Risposte
Beh, a me pare basti prendere il denominatore comune e fare conticini da primo superiore.
Facendo l'mcm ottengo (se non sbaglio)
$ (x-n)(y-n) = xy $
Il punto è come posso fare a dire che xy è $ n^2 $ ?
$ (x-n)(y-n) = xy $
Il punto è come posso fare a dire che xy è $ n^2 $ ?
Come detto da gugo82 ...
$1/x+1/y=1/n$
$(y+x)/(xy)=1/n$
$n(x+y)=xy$
$0=xy-nx-ny$
$n^2=xy-nx-ny+n^2$
$n^2=x(y-n)-n(y-n)$
$n^2=(x-n)(y-n)$
$1/x+1/y=1/n$
$(y+x)/(xy)=1/n$
$n(x+y)=xy$
$0=xy-nx-ny$
$n^2=xy-nx-ny+n^2$
$n^2=x(y-n)-n(y-n)$
$n^2=(x-n)(y-n)$
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