Equazione diofantea in tre variabili

[_clockwise]

Ciao a tutti! Ero alle prese con un'equazione diofantea che proprio non mi riesce:

\( 10x-3y-7z=0. \)

Allora, fortunatamente è omogenea quindi ho ricavato \(x=3y/10+7z/10\) e posto \(y=10m, z=10n\) con \(m,n\in\mathbb{Z}\). Ma la soluzione dovrebbe essere \( (x,y,z)=(m,m+7n,m-3n) \). Ho provato altri metodi (altre parametrizzazioni, congruenze...) ma ottengo risultati sempre diversi. Potreste fornirmi un metodo per risolvere agevolmente le diofantee lineari in tre variabili? Finora non riesco con nessuno di quelli che ho trovato. Grazie mille!

[hydro1]

Sai risolvere un'equazione diofantea in due variabili, tipo $ax+by=c$ con $a,b$ coprimi? Beh, fallo anche qua trattando ad esempio $7z$ come $c$.

[_clockwise]

Sì, ci riprovo. Allora la riscrivo come \( 10x-3y=7z \), che ha una soluzione particolare \( (z,z) \), e risolvo l'omogenea associata \( 10x'-3y'=0 \), da cui \( x'=3m,y'=10m \) (\(m\in\mathbb{Z}\)).
Dunque, se pongo \( z=n \) (\(n\in\mathbb{Z}\)), dovrebbe essere \( x=n+3m, y=n+10m, z=n \).

Che però non mi pare equivalente al risultato che ho indicato all'inizio...

[hydro1]

A me invece pare proprio la stessa cosa. L'insieme delle soluzioni è lo stesso, solo scritto in modi diversi.

[_clockwise]

Perché? Se eguaglio ordinatamente le variabili l'unica soluzione è \( m=n=0 \). Però chiaramente in entrambi i casi se sostituisco nell'equazione di partenza ottengo un'identità.

[hydro1]

Cosa vuol dire "eguaglio ordinatamente le variabili"? L'insieme $\{(n+3m,n+10m,n):n,m\in\mathbb Z\}$ è uguale all'insieme $\{(m,m+7n,m-3n):n,m\in \mathbb Z\}$.

[_clockwise]

Ah, certo. Semplicemente si aggiunge \( 3n \) a ciascuna variabile. Con quell'espressione intendevo scrivere \( n+3m=m \) eccetera e risolvere il sistema, comunque non porta a molto. Mi sono perso in un bicchiere d'acqua, grazie!