Equazione diofantea in 8 variabili
Data l'equazione
2x+3y+5z+7p+11q+13r+17t+19w=n
qualcuno ha un'idea di quanto potrebbe essere lunga la soluzione ? una pagina e mezzo, 2 pagine, 4 pagine, sette pagine o piu' ?
Sarebbe per me molto utile avere risposte.
Devo inviare entro pochi giorni il mio lavoro a una rivista straniera, possibile successivamente io pubblichi la soluzione.
Ho cercato soluzioni di equazioni in piu' variabili ma non ho visto da nessuna parte un metodo lontanamente
somigliante al mio.
una soluzione particolare per n=1 è:
x=67,y=17, z=-33, p=67, qa=-805, r=-33, w=67,k=403
Grazie in anticipo.
Oliver
P.S. il mio metodo diventa piu' semplice di quelli a me noti (Eulero, Bezout) quando aumentano le variabili. Per due sole variabili a volte mi pare piu' semplice il metodo usuale.
2x+3y+5z+7p+11q+13r+17t+19w=n
qualcuno ha un'idea di quanto potrebbe essere lunga la soluzione ? una pagina e mezzo, 2 pagine, 4 pagine, sette pagine o piu' ?
Sarebbe per me molto utile avere risposte.
Devo inviare entro pochi giorni il mio lavoro a una rivista straniera, possibile successivamente io pubblichi la soluzione.
Ho cercato soluzioni di equazioni in piu' variabili ma non ho visto da nessuna parte un metodo lontanamente
somigliante al mio.
una soluzione particolare per n=1 è:
x=67,y=17, z=-33, p=67, qa=-805, r=-33, w=67,k=403
Grazie in anticipo.
Oliver
P.S. il mio metodo diventa piu' semplice di quelli a me noti (Eulero, Bezout) quando aumentano le variabili. Per due sole variabili a volte mi pare piu' semplice il metodo usuale.
Risposte
(0.1) \[y=-n+11a-3b+7c+2d-e+f+g\]
(0.2) \[r=2n-22a+6b-14c-4d+2e-2f-g\]
(0.3) \[z=2n-22a+6b-14c-4d+2e-f-2g\]
(0.4) \[w=-4n+44a-12b+28c+8d-3e+4f+2g\]
(0.5) \[x=-4n+44a-12b+28c+9d-4e+2f+4g\]
(0.6) \[p=-4n+44a-12b+29c+8d-4e+4f+2g\]
(0.7) \[k=-24n+264a-71b+168c+48d-18e+24f+12g\]
(0.8) \[q=48n-527a+142b-336c-96d+36e-48f-24g\]
ecco le soluzioni
scusate sono una frana collaetx
(0.2) \[r=2n-22a+6b-14c-4d+2e-2f-g\]
(0.3) \[z=2n-22a+6b-14c-4d+2e-f-2g\]
(0.4) \[w=-4n+44a-12b+28c+8d-3e+4f+2g\]
(0.5) \[x=-4n+44a-12b+28c+9d-4e+2f+4g\]
(0.6) \[p=-4n+44a-12b+29c+8d-4e+4f+2g\]
(0.7) \[k=-24n+264a-71b+168c+48d-18e+24f+12g\]
(0.8) \[q=48n-527a+142b-336c-96d+36e-48f-24g\]
ecco le soluzioni
scusate sono una frana collaetx
Io inizierei a ridurre modulo \(2\) l'equazione e vedere un po' che succede.
"Oliver Heaviside":
Data l'equazione
2x+3y+5z+7p+11q+13r+17t+19w=n
qualcuno ha un'idea di quanto potrebbe essere lunga la soluzione ? una pagina e mezzo, 2 pagine, 4 pagine, sette pagine o piu' ?
Molto, ma molto meno. Per $n$ fissato, una soluzione è $x=-n$, $y=n$ e tutte le altre variabili $=0$. Adesso tutte le altre soluzioni si trovano aggiungendo a $(-n,n,0,\ldots,0)$ un elemento del nucleo della forma lineare $2x+3y+\ldots+19w$. Gli elementi del nucleo sono quelli che soddisfano $2x+3y=-5z-\ldots -19w$, quindi se chiami $f(z,p,\ldots,w)=-5z-\ldots -19w$ il nucleo è il seguente insieme:
$$\{(-f(z,\ldots,w)-3f(z,\ldots,w)k,f(z,\ldots,w)+2f(z,\ldots,w)k,z,p,q,r,t,w): k,z,p,q,r,t,w\in \mathbb Z\}$$
Se vuoi vederla diversamente, le soluzioni sono tutte fatte così: scegli le variabili $k,z,p,q,r,t,w$ come vuoi tu e poi $x=-f(z,\ldots,w)-3f(z,\ldots,w)k-n$ e $y=f(z,\ldots,w)+2f(z,\ldots,w)k+n$. Equazione risolta.
Grazie ma puoi fare i passaggi ed arrivare alla soluzione ?
Puoi darmi indicazioni sul metodo che hai usato ?
grazie mille.
Puoi darmi indicazioni sul metodo che hai usato ?
grazie mille.
Guarda i passaggi sono quelli che ho scritto, non c'è nulla di speciale da fare. Ci sono algoritmi per risolvere sistemi lineari sugli interi, vedi ad esempio qui. Ovviamente questo caso è particolarmente semplice perchè c'è una sola equazione, quindi non c'è bisogno di usare la forma normale di Smith, le soluzioni si trovano ad occhio praticamente...
avrei bisogno della soluzione (con svolgimento) di questa equazione
3x+7y+13z+17t+23u=n
una soluzione dovrebbe essere questa:
x=-6n+42a+19b+12c+6d
y=36n-251a-108b-75c-18d
z=2n-14a-6b-4c-d
t=n-7a-3b-2c-d
u=-12n+84a+36b+25c+6d
Se qualcuno puo' aiutarmi, con svolgimento completo e spiegazioni, mi rende un grande servizio e ben volentieri gli regalerò a sua scelta uno di questi due libri (come nuovi) :
Guy-Unsolved problems in number theory Springer verlag
Hilbert. Fondamenti della geometria Feltrinelli
e posso aggiungere 5 numeri di Archimede.
Devo presentare un lavoro ove mostro un metodo ,che non sembra noto, sulla risoluzione delle equazioni diofantee. Qualcuno ,se vuole, mi scriva in privato per maggiori dettagli.
Naturalmente nell'articolo, se d'accordo, citerei chi mi ha aiutato.
Spero proprio queta collaborazione sia possibile.
Un cordiale saluto
OLiver
3x+7y+13z+17t+23u=n
una soluzione dovrebbe essere questa:
x=-6n+42a+19b+12c+6d
y=36n-251a-108b-75c-18d
z=2n-14a-6b-4c-d
t=n-7a-3b-2c-d
u=-12n+84a+36b+25c+6d
Se qualcuno puo' aiutarmi, con svolgimento completo e spiegazioni, mi rende un grande servizio e ben volentieri gli regalerò a sua scelta uno di questi due libri (come nuovi) :
Guy-Unsolved problems in number theory Springer verlag
Hilbert. Fondamenti della geometria Feltrinelli
e posso aggiungere 5 numeri di Archimede.
Devo presentare un lavoro ove mostro un metodo ,che non sembra noto, sulla risoluzione delle equazioni diofantee. Qualcuno ,se vuole, mi scriva in privato per maggiori dettagli.
Naturalmente nell'articolo, se d'accordo, citerei chi mi ha aiutato.
Spero proprio queta collaborazione sia possibile.
Un cordiale saluto
OLiver
Rinnovo l'invito, precisando che la soluzione mi servirebbe entro pochi giorni (5.6 non un mese)..
Grazie mille in anticipo.
Oliver
Grazie mille in anticipo.
Oliver
Precisazione: una persona , gentilmente, mi ha scritto che potrebbe mostrarmi il tagionamento. A me però serve l'esempio della soluzione completa da unire alla mia per un confronto..
Per le equazioni diofantee in 3 variabili ho trovato un esempio di un prof. di algebra di Firenze.
Per le equazioni diofantee in 3 variabili ho trovato un esempio di un prof. di algebra di Firenze.
"Oliver Heaviside":
avrei bisogno della soluzione (con svolgimento) di questa equazione
3x+7y+13z+17t+23u=n
Dobbiamo risolvere
$$(\heartsuit) \quad 3x+7y+13z+17t+23u=n.$$
Il primo passo è trovare una soluzione specifica. Questo è facile ad occhio, perchè si vede che $(x,y,z,t,u)=(-2n,n,0,0,0)$ è una soluzione. In ogni caso, è facile farlo in generale, se hai un'equazione della forma $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_mx_m=n$ con tutti gli $a_i$ interi e $a_1,a_2$ primi tra loro. Infatti, per Bezout esistono due interi $u,v$ tali che $a_1u+a_2v=n$, quindi $(x_1,x_2,\ldots,x_m)=(u,v,0,\ldots,0)$ è una soluzione dell'equazione. Trovare $u,v$ è una procedura molto standard che usa l'algoritmo di Euclide per trovare il massimo comun divisore di due interi, e tra l'altro gira in tempo polinomiale. Nel tuo esempio specifico, si ha $u=-2n$ e $v=n$, con $a_1=3$, $a_2=7$, $a_3=13$, $a_4=17$ e $a_5=23$.
Adesso che abbiamo una soluzione specifica, l'osservazione chiave è la seguente: se $(x_1,\ldots,x_5)$ e $(y_1,\ldots,y_5)$ sono due soluzioni dell'equazione \((\heartsuit)\), allora $3x_1+7x_2+13x_3+17x_4+23x_5=n$ e $3y_1+7y_2+13y_3+17y_4+23y_5=n$. Sottraendo membro a membro, si ottiene $3(x_1-y_1)+7(x_2-y_2)+13(x_3-y_3)+17(x_4-y_4)+23(x_5-y_5)=0$, ovvero la quintupla $(x_1-y_1,\ldots,x_5-y_5)$ risolve l'equazione
$$(\spadesuit) \quad 3x+7y+13z+17t+23u=0.$$
Viceversa, se $(x_1,\ldots,x_5)$ è una soluzione di \((\heartsuit)\) e $(k_1,\ldots,k_5)$ è una soluzione di \((\spadesuit)\), sommando membro a membro si ottiene che $(x_1+k_1,\ldots,x_5+k_5)$ è anche lei una soluzione di \((\heartsuit)\). Conclusione: data una soluzione particolare $(x_1,\ldots,x_5)$ di \((\heartsuit)\), allora tutte le soluzioni di \((\heartsuit)\) sono della forma $(x_1+k_1,\ldots,x_5+k_5)$, dove $(k_1,\ldots,k_5)$ è una soluzione di \((\spadesuit)\). Di conseguenza, visto che abbiamo già trovato una soluzione particolare di \((\heartsuit)\), ci basta ora risolvere \((\spadesuit)\).
Chiamata $f:\mathbb Z^5\to \mathbb Z$ l'applicazione lineare $(x,y,z,t,u)\mapsto 3x+7y+13z+17t+23u$, si vede che le soluzioni di \((\spadesuit)\) sono esattamente gli elementi del nucleo di $f$. Visto che $\mathbb Z$ è proiettivo, le sequenze esatte corte di $\mathbb Z$-moduli spezzano, e visto che $f$ è suriettiva segue che il nucleo di $f$ è uno $\mathbb Z$-modulo libero di rango $4$. Per trovare una base del nucleo, poniamo
$$A=\begin{pmatrix}3 & 7 & 13 & 17 & 23\end{pmatrix}\in \text{Mat}_{1\times 5}(\mathbb Z)\quad \mbox{ e } \quad X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ u\end{pmatrix}.$$
Ora osserviamo il fatto seguente: siccome $-2\cdot 3+1\cdot 7=1$, la colonna \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\) può essere completata ad una matrice $5\times 5$ invertibile a coefficienti in $\mathbb Z$. Di nuovo questo si fa con l'algoritmo di Euclide, ma in questo caso si vede ad occhio che:
$$T=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
è invertibile in $\text{Mat}_{5\times 5}(\ZZ)$, visto che ha determinante $1$. Ora riscriviamo l'equazione $AX=0$, che è proprio la \((\spadesuit)\), come $(AT)(T^{-1}X)=0$. Si noti che \(AT=\begin{pmatrix}1 & -5 & 13 & 17 & 23\end{pmatrix}\). Se poniamo \(Y=T^{-1}X=\begin{pmatrix}x' \\ y'\\ z'\\ t'\\ u'\end{pmatrix}\), troviamo allora immediatamente che le soluzioni di $(AT)Y=0$ sono proprio $x'=5y'-13z'-17t'-23u'$, ovvero scelti $y',z',t',u'$ a piacimento, $x'$ risulta univocamente determinato. Chiaramente visto che $T$ è invertibile, per lo stesso argomento di sopra le soluzioni di $(AT)Y=0$ sono uno $\ZZ$-sottomodulo libero di rango $4$, e una sua base è $\{(5,1,0,0,0),(-13,0,1,0,0),(-17,0,0,1,0),(-23,0,0,0,1)\}$ (l'ho scritta per righe anche se va pensata per colonne). Adesso per risalire alle soluzioni di $AX=0$ basterà moltiplicare per $T$ gli elementi di questa base; segue che $\{(-7,3,0,0,0),(26,-13,1,0,0),(34,-17,0,1,0),(46,-23,0,0,1)\}$ è una base dello $\ZZ$-modulo delle soluzioni di \((\spadesuit)\). Adesso basta sommarle alla soluzione specifica trovata all'inizio; segue che tutte le soluzioni di \((\heartsuit)\) sono:
$$\begin{cases}x=-2n+-7a+26b+34c+46d & \\ y=n+3a-13b-17c-23d &\\ z=b & \\ t=c & \\ u= d & \\\end{cases},$$
al variare di $a,b,c,d\in \ZZ$.
Grazie, devo leggere con attenzione, puoi mandarmi il PDF e il tuo indirizzo per spedire il libro ) ?
Molto interessante, puoi dirmi a che livello si studiano questi argomenti ?
Grazie..
Oliver
P.S. ho bisogno del tuo indirizzo
Grazie..
Oliver
P.S. ho bisogno del tuo indirizzo
Sono cose a livello di laurea triennale in matematica, primo/secondo/terzo anno dipende un po' da come l'università organizza i corsi...
Grazie mille di nuovo. Nei libri di algebra linea che ho
consultato non ho visto una sola volta un esercizio relativo alle equazioni diofantee: puoi indicarne uno ?
Grazie mille per la preziosa collaborazione
Un sistema di soluzioni è anche
x=-4n+4g
y=-n+g
z=-2n-2g
p=-4n+2g
q=48n-24g
r=2n-g
w=-4n+2g
k=-24n+12g
Nel lavoro che spedirò a giorni posso dire che la soluzione classica l'ho trovata sul sito matematicamente ?
Grazie mille di nuovo..
Oliver
P.S. il metodo che ho ideato è alla portata di un alunno(bravino) di prima liceo.
consultato non ho visto una sola volta un esercizio relativo alle equazioni diofantee: puoi indicarne uno ?
Grazie mille per la preziosa collaborazione
Un sistema di soluzioni è anche
x=-4n+4g
y=-n+g
z=-2n-2g
p=-4n+2g
q=48n-24g
r=2n-g
w=-4n+2g
k=-24n+12g
Nel lavoro che spedirò a giorni posso dire che la soluzione classica l'ho trovata sul sito matematicamente ?
Grazie mille di nuovo..
Oliver
P.S. il metodo che ho ideato è alla portata di un alunno(bravino) di prima liceo.
"Oliver Heaviside":
Grazie mille di nuovo. Nei libri di algebra linea che ho
consultato non ho visto una sola volta un esercizio relativo alle equazioni diofantee: puoi indicarne uno ?
Grazie mille per la preziosa collaborazione
Nei libri di algebra lineare non ne hai trovato menzione probabilmente perchè è intesa come algebra lineare su campi, e non su anelli. Il contesto giusto per pensare questi problemi è quello molto più generale dei moduli finitamente generati su PID, quindi devi cercare queste parole chiave nei libri di algebra, non solo di algebra lineare. Le equazioni diofantee che interessano a te sono un caso estremamente specifico, in cui il PID è $\mathbb Z$ e il modulo in questione è il nucleo di un'applicazione lineare. Ma per trovare la struttura di un modulo f.g. su un PID ci sono algoritmi che funzionano molto molto più in generale. Sicuramente molti libri di algebra sufficientemente omnicomprensivi contengono questo teorema di struttura, per esempio sta nel capitolo 12 del'' "Algebra" di M. Artin, ma certamente ci sono altre referenze. Ovviamente non leggerai di "equazioni diofantee" in quel capitolo, troverai la teoria generale da cui devi risalire al tuo caso specifico.
"Oliver Heaviside":
Nel lavoro che spedirò a giorni posso dire che la soluzione classica l'ho trovata sul sito matematicamente ?
Senza dubbio!
Grazie mille di nuovo. Probabilmente non avrò il tempo necessario, ma rinfrescare l'algebra lineare mi farà bene.
Sei stato veramente gentile e di una grande chiarezza.
ciao
Oliver
Sei stato veramente gentile e di una grande chiarezza.
ciao
Oliver
spedito c
il volume promesso. Grazie mille di nuovo.
A proposito di libri: sono un po' stupito che nessuno abbia colta la mia richiesta di libri francesi(molto belli in regalo:..). Vedere altri metodi e altri tipi di esercizi è per me stimolante.
il volume promesso. Grazie mille di nuovo.
A proposito di libri: sono un po' stupito che nessuno abbia colta la mia richiesta di libri francesi(molto belli in regalo:..). Vedere altri metodi e altri tipi di esercizi è per me stimolante.
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