Equazione diofantea esponenziale razionale
Ciao a tutti.. Mi chiedevo se esista un metodo (o anche solo un'idea) per trovare tutti i punti a coordinate intere della funzione
$ f(x) = (3^x -1)/(2^x -1) $
Ho provato in centomila modi, ma non riesco proprio a venirne a capo..
$ f(x) = (3^x -1)/(2^x -1) $
Ho provato in centomila modi, ma non riesco proprio a venirne a capo..
Risposte
a prima vista direi che, a parte il caso banale $x=1$ non ce ne sono altri perchè, per $x$ intero il numeratore è sempre pari e il denominatore è sempre dispari (per $x>0$). E per $x<0$ dovrebbe essere il contrario.
Eh ma non è così semplice.. Non sto dicendo che $2^x-1 = 3^x-1 $, ma che $2^x-1 | 3^x-1 $
Molto carino questo problema! Da dove viene?
Suggerimento: reciprocita' quadratica
Suggerimento: reciprocita' quadratica
L'ho inventato mentre giochicchiavo con i punti interi delle funzioni del tipo $f(x) = (P(x))/(Q(x)) $ 
Ok tramite la reciprocità quadratica sono riuscito a dimostrare che $2^x-1$ non può essere primo, ma poi più nulla... un aiutino un po' più forte? (sono al secondo di università, non me la cavo ancora molto bene con simbolo di Legendre e robe varie)
Ok tramite la reciprocità quadratica sono riuscito a dimostrare che $2^x-1$ non può essere primo, ma poi più nulla... un aiutino un po' più forte? (sono al secondo di università, non me la cavo ancora molto bene con simbolo di Legendre e robe varie)
E' bellissimo!
OK, ecco un suggerimento piu' forte:
1) dimostrare che $x$ deve essere dispari.
2) Per $x>1$ applicare la reciprocita' quadratica al simbolo di Jacobi $(3/{2^x-1})$.
OK, ecco un suggerimento piu' forte:
1) dimostrare che $x$ deve essere dispari.
2) Per $x>1$ applicare la reciprocita' quadratica al simbolo di Jacobi $(3/{2^x-1})$.
Ahahah ok, adesso me l'hai praticamente detto 
Be', scrivo allora la risoluzione, nel caso a qualcun'altro possa interessare
TEOREMA: La funzione reale $f(x) = (3^x -1)/(2^x-1) $ definisce un unico punto a coordinate intere: $(1,2)$
DIMOSTRAZIONE:
Osserviamo innanzitutto che $x$ deve essere necessariamente dispari; se infatti fosse pari si avrebbe che $3 | 2^x -1 $, in quanto $2^(2k) = 4^k \equiv 1 mod 3$, e di conseguenza $3 | 3^x -1 $, il che è assurdo.
Ora notiamo che se $(2^x-1) | (3^x-1) $ allora:
$3^x \equiv 1 mod 2^x-1$
Per cui, passando al simbolo di Jacobi, si ha:
$(3^x/(2^x-1))=(1/(2^x-1))=1$
Poiché $x$ è dispari si ha allora che $(3/(2^x-1))=1$, altrimenti si avrebbe $(1/(2^x-1))=(3^x/(2^x-1))= -1$
Ora applichiamo la reciprocità quadratica:
$(3/(2^x-1))=((2^x-1)/3)(-1)^(2^(x-1)-1)$
Ora se $x=1$ si ha la nostra soluzione $(1,2)$; se $x \ne 1$ allora $2^(x-1)-1$ è dispari e dunque:
$((2^x-1)/3)=-1$, da cui:
$2^x-1\equiv -1 mod 3$, assurdo! Dunque $x=1$ è l'unica soluzione.
Be', scrivo allora la risoluzione, nel caso a qualcun'altro possa interessare
TEOREMA: La funzione reale $f(x) = (3^x -1)/(2^x-1) $ definisce un unico punto a coordinate intere: $(1,2)$
DIMOSTRAZIONE:
Osserviamo innanzitutto che $x$ deve essere necessariamente dispari; se infatti fosse pari si avrebbe che $3 | 2^x -1 $, in quanto $2^(2k) = 4^k \equiv 1 mod 3$, e di conseguenza $3 | 3^x -1 $, il che è assurdo.
Ora notiamo che se $(2^x-1) | (3^x-1) $ allora:
$3^x \equiv 1 mod 2^x-1$
Per cui, passando al simbolo di Jacobi, si ha:
$(3^x/(2^x-1))=(1/(2^x-1))=1$
Poiché $x$ è dispari si ha allora che $(3/(2^x-1))=1$, altrimenti si avrebbe $(1/(2^x-1))=(3^x/(2^x-1))= -1$
Ora applichiamo la reciprocità quadratica:
$(3/(2^x-1))=((2^x-1)/3)(-1)^(2^(x-1)-1)$
Ora se $x=1$ si ha la nostra soluzione $(1,2)$; se $x \ne 1$ allora $2^(x-1)-1$ è dispari e dunque:
$((2^x-1)/3)=-1$, da cui:
$2^x-1\equiv -1 mod 3$, assurdo! Dunque $x=1$ è l'unica soluzione.
Yes!
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