Equazione diofantea esponenziale

[_clockwise]

Buonasera a tutti! Avrei bisogno di aiuto con un'equazione diofantea sulla quale sbatto la testa da un po':

\(x^2+5^4=5^y, \hspace{30pt} (x,y)=\mathbb{Z}_{\geq 0}^2.\)

Per $y=2k, k\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$ basta notare che la quantità $5^{y-4}-1=5^{2(k-2)}-1$ dev'essere un quadrato perfetto, il che accade soltanto per $k=2$. Quindi una soluzione, l'unica per $y$ pari, è $(x,y)=(0,4)$.

Primo modo. Perché l'equazione abbia soluzioni, deve esistere $a\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ tale che $a^2=(5^{k-2}+1)(5^{k-2}-1)$. Il MCD fra i due fattori a secondo membro è:

\(\text{MCD}(5^{k-2}+1;5^{k-2}-1)=\text{MCD}(2;5^{k-2}-1)=2.\)

(Non può essere 1 perché sono entrambi pari.) Pertanto esistono $m,n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ tali che $(5^{k-2}+1,5^{k-2}-1)=(2m^2,2n^2)$, il che consente di concludere che $(m,n)=(1,0)$. Risostituendo a ritroso si ottiene $k=2$.

Secondo modo. Più semplicemente, si può ricordare che la distanza fra due quadrati consecutivi $n^2$ e $(n+1)^2$ (con $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$) è $2n+1$. Siccome $5^{2(k-2)}$ è un quadrato e vogliamo che lo sia anche $5^{2(k-2)}-1$, allora 1 è la distanza fra tali quadrati e questi sono necessariamente consecutivi. Dunque in questo caso $2n+1=1$, da cui $n=0$. Ma siccome è anche $n=5^{2(k-2)}-1$, allora $k=2$.

Per $y=2k+1, k\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$ cominciano i problemi. Inizialmente ho proseguito come prima e, sfruttando qualche prodotto notevole, ho concluso che l'equazione ha soluzioni per $y$ dispari se e solo se ha soluzioni l'equazione:

\(16m(m+1)=5(5^{2k'}-1), \hspace{30pt} (m,k')=\mathbb{Z}_{\geq 0}^2.\)

Come prima, la quantità $5^{y−4}−1=5^{2(k−2)+1}−1=4(5^{2k'}+5^{2k'-1}+...+5+1)$ (con $k'=k-2$) dev'essere un quadrato perfetto, cioè deve esistere $a\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ tale che

$a^2=5^{2k'}+5^{2k'-1}+...+5+1$.

A questo punto ho notato che il secondo membro è dispari, quindi si può porre $a=2m+1$, con $m\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$. Si ottiene $4m(m+1)=5(5^{2k'-1}+5^{2k'-2}+...+5+1)$, ovvero $16m(m+1)=5(5^{2k'}-1)$.

Ho fatto del mio meglio ma non riesco a dimostrare, come dice WolframAlpha, che l'unica soluzione di questa equazione è $(m,k')=(0,0)$, da cui segue facilmente che $y=5$ e $x=50$. Ho provato a considerare la divisibilità per vari numeri (il primo membro ad esempio è divisibile per 32 e speravo che non lo fosse il secondo, invece ad esempio per $k'=4$ lo è...), ho preso l'equazione modulo qualsiasi cosa, optato per disuguaglianze, scomposizioni, santini, ma niente. Non c'è verso di dimostrare che per $m>0$ non c'è soluzione.

Grazie in anticipo a chi mi darà una mano...!

[hydro1]

Una via è questa: per $y<4$ fai i conti caso per caso. Se $y\geq 4$, allora guardando l'equazione modulo $5^4$ ti accorgerai che \(25\mid x\), quindi dividendo tutto quanto per $5^4$ e rinominando le variabili nel modo giusto ti riduci a risolvere l'equazione $m^2+1=5^n$. Questa fattorizza in \(R=\mathbb Z\) come $(m+i)(m-i)=5^n$. Adesso osserva che $R$ è un UFD e $5=(2-i)(2+i)$, quindi devi avere, a meno di unità (il che ti porta a guardare un tot di casi distinti, ma un numero finito), $m+i=(2+i)^n$. Ora da qua dovrebbe essere semplice concludere usando il fatto che \((2+i)^n=\sum\binom{n}{j}2^{n-j}i^j\) e guardando il coefficiente di $i$ nello sviluppo.

[_clockwise]

Come hai fatto a passare da $(m+i)(m-i)=(2+i)^n(2-i)^n$ a $m+i=(2+i)^n$? Chiarito questo è fatta, perché

\(\displaystyle\sum_{j=0}^n \binom{n}{j}2^{n-j}i^j=2^n+2^{n-1}i+\cdots+2i^{n-1}+i^n\)

e dunque $n\leq 1$ (e l'uguaglianza porta a $y=5$). Poi a mano si vede che può anche verificarsi il caso $n=0$ (da cui $y=4$).

[hydro1]

Perchè $m+i$ e $m-i$ hanno un gcd che divide $2$ per qualsiasi $m$, ma allora devono essere coprimi perchè il prodotto è $5$ che non è diviso da $i+1$. Ma allora per fattorizzazione unica quella è l'unica scelta (insieme a $m+i=(2-i)^n$, e con le altre scelte date dalla moltiplicazione per unità).

[_clockwise]

Ok, perfetto! Grazie mille, finalmente ho una soluzione al dilemma. Questo procedimento mi tornerà sicuramente utile in futuro, per scomporre espressioni del tipo $a^2+1$.

A questo punto, per sfizio, mi piacerebbe comunque riuscire a mostrare che quell'equazione che ho scritto ammette la sola soluzione $(m,k')=(0,0)$. Anche perché non credo che chi ha scritto il quesito avesse in mente un procedimento di risoluzione che facesse uso dell'unità immaginaria