Equazione Diofantea

[Amartya]

Salve a tutti

Ho questo esercizio:
Si consideri l'equazione diofntea $30x + ay = 189$ con $a in N$. Determinare i valori di $a$ per cui l'equazione ammetta soluzioni(intere). Detto $m$ il massimo tra i suddetti valori di $a$ minore di $100$, verificare che per $a = m$ la precedente equazione ammette una sola soluzione in $NxN$

Soluzione:
Fattorizzando $189$ si ottiene $3^3*7$, mentre $30 = 2*3*5$ di coneguenza $a$ è uguale a tutti i multipli di $3$ esclusi quelli divisibili per $2 e 5$.
Il valore massimo di $a$ minore di $100$, è $99$.

Risolvendo l'equazione $30x +99y = 3$ ottengo $x = 10$, $y = -3$ per cui $30x + 99y = 189$ ha soluzione per $x= 630$, $y = -189$

Tuttavia ottengo anche un sistema di soluzioni dato da $x = 630 + 33n$ e $y = -189 -10n$.

L'esercizio mi chiede di verificare che per $a$ massimo valore minore di $100$ l'equazione ammette una sola soluzione.

Dove sto sbagliando?

Grazie

Emanuele

[blackbishop13]

mi sembra tu abbia fatto tutto abbastanza bene, equazioni di quel tipo non possono avere una soluzione sola, quindi magari l'esercizio ti chiede una cosa un po' diversa, tipo "ha un' unica soluzione più piccola di.." o roba del genere.

[Amartya]

"blackbishop13":mi sembra tu abbia fatto tutto abbastanza bene, equazioni di quel tipo non possono avere una soluzione sola, quindi magari l'esercizio ti chiede una cosa un po' diversa, tipo "ha un' unica soluzione più piccola di.." o roba del genere.

Condivido la tua osservazione chiederò al prof.

Grazie

[†Sally†111]

Ma cerchi soluzioni intere relative o naturali? Hai ottenuto y intere relative, che non rientrano in NxN...

[Amartya]

"†Sally†":Ma cerchi soluzioni intere relative o naturali? Hai ottenuto y intere relative, che non rientrano in NxN...

il punto è che se sostituisci a $n$ un valore, ottieni un'altra soluzione, quindi esistono più soluzioni in $NxN$ che è in contrapposizione con la tesi.

[†Sally†111]

n lo fai variare in N o in Z?

[Amartya]

"†Sally†":n lo fai variare in N o in Z?

Lo faccio variare in $N$, però mi hai dato una intuizione, infatti le soluzioni sono in $Z$ esiste un'unica soluzione in $N$ per $n=-19$ si ha $x = 3, y = 1$

Come sempre il prof, aveva ragione.


Grazie della tua osservazione

[†Sally†111]

Figurati
Scusa se ne approfitto ma ci sarebbe un metodo generale per risolvere le diofantee?

[Amartya]

"†Sally†":Figurati
Scusa se ne approfitto ma ci sarebbe un metodo generale per risolvere le diofantee?

Un metodo per quelle di 1° grado esiste.
Prima devi vedere se l'equazione è risolubile, cioè se $MCD(a,b)$ divide il secondo membro dell'equazione, ad esempio nel caso da me postato $MCD(30,89)=3$ e $3|189$.

Dopo sai che per il lemma di Bezout esistono infiniti $x$, $y$ che moltiplicati $a$, $b$ restituiscono $3$.

Attraverso la divisione euclidea ne trovi una coppia. Ora però hai trovato la coppia di $x,y$ che moltiplicata $a,b$ fa $3$, a te serve quella che fa $189$.

Bene dividi $189$ per $3$ e fa $63$, ed a questo punto moltiplica $63$ per gli $x$,$y$ trovati, otterai altri 2 valori che moltiplicati $a,b$ fanno $189$. Avresti finito.

Se vuoi trovare un sistema di soluzioni, allora devi porre $x_1 = x + x_2$ e $y_1 = y + y_2$, sostituisci a $x,y$ i valori trovati dalla divisione euclidea moltiplicati $63$, e moltiplica $a$ per $x_1$ e $b$ per $y_1$ e poni l'equazione pari a $0$.

Alla fine otterrai $189 +30x_2 + 99y_2$ adesso ti rimane da risolvere la seguente eqazione $30x_2 + 99y_2 = 0$, qindi $y_2 = -30/99x2$ coè $y_2 = -10/33x_2$ cioè l'equazione è $0$ se $y_2 = -10n$ e $x_2 = 33n$


Infine $x_1 = x +33n$ e $y_1 = y -10n$

[†Sally†111]

Grazie mille!