Equazione diofantea..

[John_Nash11]

Mi aiutate a risolvere questa equazione? Sbaglio qualcosa nella parte finale e non riesco a trovare il risultato corretto:

Determinare il numero degli $(x,y) in ZZ^2$ tali che $714x + 579y = 18$ e $ 0<=x<=4000$.

Grazie!!

[Dorian1]

Potresti postare il tuo tentativo di risoluzione... Così partiamo da lì...
Ad esempio, qual'è la condizione che equivale all'esistenza di soluzioni, nel tuo caso?

[John_Nash11]

"Dorian":Potresti postare il tuo tentativo di risoluzione... Così partiamo da lì...
Ad esempio, qual'è la condizione che equivale all'esistenza di soluzioni, nel tuo caso?

Allora io sò che l'$M.C.D.(714,579)=3$ che divide $18$, quindi và bene e sò che c'è almeno una soluzione.
Ora io divido tutto per $3$ e ottengo $238x + 193y = 6$.
Con euclide trovo l'M.C.D. che è $1$ e poi con euclide esteso trovo $x$ e $y$ che soddisfano la mia equazione, e sono $-30$ e $37$.
Moltiplico tutto per 3 e ho: $238 (-30*3) + 193 (37*3) = 3$.
Ora una soluzione è: $x=-90$ e $y=111$.
A questo punto devo trovare le soluzioni dell'omogenea associata che però mi tornano male.
Intanto posso sapere se quello che ho fatto fin'ora è il modo corretto di procedere, e come posso continuare?
Grazie!

[miuemia]

scusa ma come fa ad essere il MCD uguale ad 1 e poi dividi per 3????

[Dorian1]

"John_Nash":Mi aiutate a risolvere questa equazione? Sbaglio qualcosa nella parte finale e non riesco a trovare il risultato corretto:

Determinare il numero degli $(x,y) in ZZ^2$ tali che $714x + 579y = 18$ e $ 0<=x<=4000$.

Grazie!!

L'algoritmo di Euclide dice che $MCD(714,579)=3$ e dà l'identità di Bezout:

$3=714(-30)+579(37)$

Quindi:

$714x + 579y = 18 = 6*3 = 6*(714(-30)+579(37))=714(-30*6)+579(37*6)$

una soluzione è quindi $-180$. Le altre si ottengono dalla relazione:

$x_k=-180+k579/3$ al variare di $k$ negli interi...

Non ho fatto altro che risolvere la congruenza:

$714x equiv 18 (mod 579)$

[John_Nash11]

"miuemia":scusa ma come fa ad essere il MCD uguale ad 1 e poi dividi per 3????

Ho sbagliato a scrivere era $3|18$ naturalmente ora correggo..

[John_Nash11]

"Dorian":[quote="John_Nash"]Mi aiutate a risolvere questa equazione? Sbaglio qualcosa nella parte finale e non riesco a trovare il risultato corretto:

Determinare il numero degli $(x,y) in ZZ^2$ tali che $714x + 579y = 18$ e $ 0<=x<=4000$.

Grazie!!

L'algoritmo di Euclide dice che $MCD(714,579)=3$ e dà l'identità di Bezout:

$3=714(-30)+579(37)$

Quindi:

$714x + 579y = 18 = 6*3 = 6*(714(-30)+579(37))=714(-30*6)+579(37*6)$

una soluzione è quindi $-180$. Le altre si ottengono dalla relazione:

$x_k=-180+k579/3$ al variare di $k$ negli interi...

Non ho fatto altro che risolvere la congruenza:

$714x equiv 18 (mod 579)$[/quote]
Ok ci sono. Quindi tutte le diverse soluzioni si trovano ponendo la soluzione particolare + Modulo/MCD * k ? Che mi sembra essere quello che hai scritto..
Grazie mille comunque!

[Dorian1]

"John_Nash":Ok ci sono. Quindi tutte le diverse soluzioni si trovano ponendo la soluzione particolare + Modulo/MCD * k ? Che mi sembra essere quello che hai scritto..

Esattamente.