Equazione diofantea
Ho bisogno di qualcuno che mi dica se sto svolgendo correttamente un esercizio. Questo:
Dimostrare che l'equazione \(\displaystyle x^2 + y^2 - xy = 0 \) non ha soluzioni intere non banali.
Io ho ragionato così: l'equazione può essere scritta come \(\displaystyle ( x - y ) ^2 = -xy \) , poichè ricerchiamo eventuali soluzioni non banali possiamo considerare il membro sinistro, che è un quadrato, positivo. Allora x e y dovranno essere discordi. In particolare il prodotto xy è negativo. Consideriamo ancora l'equazione nella forma \(\displaystyle x^2 + y^2 - xy = 0 \) per quanto detto sopra ogni componente del membro sinistro è positiva perciò la loro somma sarà un numero maggiore di zero, a meno di considerare x = y = 0.
È corretto? È formalmente esatto? Ci sono metodi migliori?
Grazie per l'aiuto
Dimostrare che l'equazione \(\displaystyle x^2 + y^2 - xy = 0 \) non ha soluzioni intere non banali.
Io ho ragionato così: l'equazione può essere scritta come \(\displaystyle ( x - y ) ^2 = -xy \) , poichè ricerchiamo eventuali soluzioni non banali possiamo considerare il membro sinistro, che è un quadrato, positivo. Allora x e y dovranno essere discordi. In particolare il prodotto xy è negativo. Consideriamo ancora l'equazione nella forma \(\displaystyle x^2 + y^2 - xy = 0 \) per quanto detto sopra ogni componente del membro sinistro è positiva perciò la loro somma sarà un numero maggiore di zero, a meno di considerare x = y = 0.
È corretto? È formalmente esatto? Ci sono metodi migliori?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Corretto.
In realtà quell'equazione non ha soluzioni diverse da $(0,0)$ nemmeno tra i reali, visto che
$x^2-xy+y^2=(x- \frac{y}{2})^2+ \frac{3y^2}{4} > 0 \quad \forall (x,y) \ne (0,0)$.
In realtà quell'equazione non ha soluzioni diverse da $(0,0)$ nemmeno tra i reali, visto che
$x^2-xy+y^2=(x- \frac{y}{2})^2+ \frac{3y^2}{4} > 0 \quad \forall (x,y) \ne (0,0)$.
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