Equazione di terzo grado

[francicko]

Ho provato a risolvere con le note formule di Cardano l'equazione $x^3-3x+1=0$, dallo studio di funzione si vede che ha esattamente tre radici reali, attraverso i calcoli sono arrivato alla soluzione $x_1=root(3)(-1/2+isqrt(3)/2)+root(3)(-1/2-isqrt(3)/2)$, che dovrebbe rappresentare un numero reale, quali ulteriori trasformazioni sono da apportare per mostrare che si tratta di un numero reale?

[solaàl]

Un numero complesso \(z\) è reale se e solo se \(\bar z = z\). Ora, è vero che il coniugato di \(\sqrt[3]{z}\) coincide con \(\sqrt[3]{\bar z}\)?

[francicko]

Sono alle prime armi con i numeri complessi, pertanto ho poca dimestichezza, però in un precedente esercizio in cui necessitava calcolare la radice cubica di $root(3)(-2(1+i))$, avevo intuito che era il numero complesso $(1-i)$, qui il problema è che compare quel $sqrt(3)$, sono sicuro che si può calcolare esprimendolo sempre informa complessa $a+bi$, ma non so come, potresti aiutarmi nel calcolo, grazie!

[francicko]

Un altro esempio riguarda la famosa soluzione di Cardano, come fa a risultare $4$ la forma $root(3)(2+sqrt(-121))+root(3)(2-sqrt(-121))$?