Equazione di grado $100002$ in $CC$
Salve ragazzi, dovrei verificare che un certo numero complesso $z_0$ è soluzione di un'equazione del genere:
\[g(x)=x^{100002}+x^{100000}-13333x^2-13333=0\]
E' la prima volta che mi trovo di fronte a un problema del genere, non saprei come comportarmi
Mi conviene tentare di provare, in qualche modo, che $g(x)$ è divisibile per $(x-z_0)$?
EDIT: con l'algoritmo di Ruffini posso provare, in una maniera un po' rozza, che $(x-z_0)$ non divide $g(x)$. Altre idee?
\[g(x)=x^{100002}+x^{100000}-13333x^2-13333=0\]
E' la prima volta che mi trovo di fronte a un problema del genere, non saprei come comportarmi
Mi conviene tentare di provare, in qualche modo, che $g(x)$ è divisibile per $(x-z_0)$?EDIT: con l'algoritmo di Ruffini posso provare, in una maniera un po' rozza, che $(x-z_0)$ non divide $g(x)$. Altre idee?
Risposte
E se il tuo $g(x)$ lo vedi così,
$g(x)=x^{100000}(x^2+1)-13333(x^2+1)=(x^2+1)(x^{100000}-13333)$
che ne deduci?
PS : Certo, puoi provare la divisione diretta.. peccato che il polinomio ha grado esageratamente alto hihi
ciao Pè
EDIT : chi è $z_0$?
$g(x)=x^{100000}(x^2+1)-13333(x^2+1)=(x^2+1)(x^{100000}-13333)$
che ne deduci?
PS : Certo, puoi provare la divisione diretta.. peccato che il polinomio ha grado esageratamente alto hihi
ciao Pè
EDIT : chi è $z_0$?
Azz...devo evitare di fare esercizi alle due di notte 
PS. Facendo la divisione basta osservare che i coefficienti del polinomio quoziente saranno, nell'ordine, $1$, $z_0$, $(1+z_0^2)$, $(1+z_0^2)z_0$, $(1+z_0^2)z_0^2$ , ..., $(1+z_0^2)z_0^{100000-i}$, dove $i$ è il grado del coefficiente. Questo fino al secondo grado...
PS. Facendo la divisione basta osservare che i coefficienti del polinomio quoziente saranno, nell'ordine, $1$, $z_0$, $(1+z_0^2)$, $(1+z_0^2)z_0$, $(1+z_0^2)z_0^2$ , ..., $(1+z_0^2)z_0^{100000-i}$, dove $i$ è il grado del coefficiente. Questo fino al secondo grado...
"Plepp":
PS. Facendo la divisione basta osservare che i coefficienti del polinomio quoziente saranno, nell'ordine, $1$, $z_0$, $(1+z_0^2)$, $(1+z_0^2)z_0$, $(1+z_0^2)z_0^2$ , ..., $(1+z_0^2)z_0^{100000-i}$, dove $i$ è il grado del coefficiente. Questo fino al secondo grado...
?
Sì va bene ,Ma a cosa ti serve?
Ad occhio si vede che alcune radici di $g(x)$ sono $+-i$ e a meno di non sbagliarmi, le altre puoi ricercarle considerando l'equazione in $C$ di $z^{100000}=13333$ . (2)
Se $z_0=+-i$ oppure appartiene all'insieme delle soluzioni della (2) allora $x-z_0$ divide $g$.
EDIT : corretto.
Ad occhio si vede che alcune radici di $g(x)$ sono $+-i$ e a meno di non sbagliarmi, le altre puoi ricercarle considerando l'equazione in $C$ di $z^{100000}=13333$ . (2)
Se $z_0=+-i$ oppure appartiene all'insieme delle soluzioni della (2) allora $x-z_0$ divide $g$.
EDIT : corretto.
Serve a provare che $g(x)$ non è divisibile per $z_0$! (Vedi primo post). Ad ogni modo, una volta riscritto il polinomio come hai fatto tu, il problema non si pone più.
Perché se $z_0=\pm 1$, $(x-z_0)$ divide $g(x)$?
Forse intendi $\pm i$
Tornando al problema, il tutto si riduce a verificare che $x^{100 000}=13333$ non abbia $z_0$ tra le soluzioni. In forma trigonometrica si ha $13333=[13333,0]$, dunque tutte le radici $100000$-esime di $13333$ saranno della forma
\[x_k=\Bigg[\sqrt[100000]{13333},\dfrac{2k\pi}{100000}\Bigg]\qquad (k\in \mathbb{Z})\]
Per provare che $z_0$ non coincide con nessuno degli $x_k$, mi è sufficiente provare che $|z_0|\ne |x_k|$. Il famigerato $z_0$ è
\[z_0=\sqrt{\dfrac{-3+i\sqrt{123}}{2}}\]
Posto
\[\omega:=\dfrac{-3+i\sqrt{123}}{2}\]
avrò che $|z_0|=\sqrt{|\omega|}$. Dopo aver fatto i conti ottengo $|z_0|= 33^{1/4}$, che è palesemente diverso da $|x_k|$
Altre idee?
Perché se $z_0=\pm 1$, $(x-z_0)$ divide $g(x)$?
Forse intendi $\pm i$Tornando al problema, il tutto si riduce a verificare che $x^{100 000}=13333$ non abbia $z_0$ tra le soluzioni. In forma trigonometrica si ha $13333=[13333,0]$, dunque tutte le radici $100000$-esime di $13333$ saranno della forma
\[x_k=\Bigg[\sqrt[100000]{13333},\dfrac{2k\pi}{100000}\Bigg]\qquad (k\in \mathbb{Z})\]
Per provare che $z_0$ non coincide con nessuno degli $x_k$, mi è sufficiente provare che $|z_0|\ne |x_k|$. Il famigerato $z_0$ è
\[z_0=\sqrt{\dfrac{-3+i\sqrt{123}}{2}}\]
Posto
\[\omega:=\dfrac{-3+i\sqrt{123}}{2}\]
avrò che $|z_0|=\sqrt{|\omega|}$. Dopo aver fatto i conti ottengo $|z_0|= 33^{1/4}$, che è palesemente diverso da $|x_k|$
Altre idee?
Mi sembra giusto. Ed è questa l'idea che avevo in mente.
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