Equazione alle congruenze
Devo trovare le soluzioni di $x^{2} \equiv 5 (mod 6)$ ...
E' da poco che tratto questo argomento e vorrei quindi non saltare nessun passaggio.
Ho pensato di proseguire nel seguente modo.
Pongo $z = x^{2}$ e cerco le soluzioni di $z \equiv 5 (mod 6)$ la quale è unica (modulo 6) visto che il coefficiente di $z$ è $1$. La soluzione è quindi data da $5 + 6k$ per ogni $k$ intero.
Essendo $x^{2} = z = 5 + 6k$ si ha che non esiste alcun valore $k$ intero per il quale $x$ è un intero. Quindi l'equazione $x^{2} \equiv 5 (mod 6)$ non ammette soluzioni.
E' giusto il mio ragionamento?
E nel caso in cui non lo fosse o vi siano altri modi di ragionare mi piacerebbe leggervi..
In particolare, avrei potuto comprendere la non esistenza di soluzioni della congruenza osservandola (e quindi senza il cambio di variabile) ?
Grazie mille a tutti
E' da poco che tratto questo argomento e vorrei quindi non saltare nessun passaggio.
Ho pensato di proseguire nel seguente modo.
Pongo $z = x^{2}$ e cerco le soluzioni di $z \equiv 5 (mod 6)$ la quale è unica (modulo 6) visto che il coefficiente di $z$ è $1$. La soluzione è quindi data da $5 + 6k$ per ogni $k$ intero.
Essendo $x^{2} = z = 5 + 6k$ si ha che non esiste alcun valore $k$ intero per il quale $x$ è un intero. Quindi l'equazione $x^{2} \equiv 5 (mod 6)$ non ammette soluzioni.
E' giusto il mio ragionamento?
E nel caso in cui non lo fosse o vi siano altri modi di ragionare mi piacerebbe leggervi..
In particolare, avrei potuto comprendere la non esistenza di soluzioni della congruenza osservandola (e quindi senza il cambio di variabile) ?
Grazie mille a tutti
Risposte
"Desirio":
Devo trovare le soluzioni di $x^{2} \equiv 5 (mod 6)$ ...
E' da poco che tratto questo argomento e vorrei quindi non saltare nessun passaggio.
Ho pensato di proseguire nel seguente modo.
Pongo $z = x^{2}$ e cerco le soluzioni di $z \equiv 5 (mod 6)$ la quale è unica (modulo 6) visto che il coefficiente di $z$ è $1$. La soluzione è quindi data da $5 + 6k$ per ogni $k$ intero.
Essendo $x^{2} = z = 5 + 6k$ si ha che non esiste alcun valore $k$ intero per il quale $x$ è un intero. Quindi l'equazione $x^{2} \equiv 5 (mod 6)$ non ammette soluzioni.
E' giusto il mio ragionamento?
No. Sei stato fortunato perchè quell'equazione davvero non ha soluzioni, ma hai scritto delle cose senza senso. Per esempio, puoi notare che se $x^2$ fa $5$ modulo $6$ allora fa anche $5$ modulo $3$. Ma nessun intero al quadrato fa $5$ modulo $3$, perchè $5\equiv 2\mod 3$ e se $x\in \mathbb Z$ allora $x^2$ fa $0$ o $1$ modulo $3$.
CIao Hydro, grazie per la risposta.. ma non ti seguo molto...
Mi dici che se $x^{2} \equiv 5 mod 6$ allora x^{2} \equiv 5 mod 3 ... questo perché $x^{2} = 6q + 5 = 3*2*q' + 5$ e quindi $x^{2} \equiv 5 mod 3 \equiv 2 mod 3$. Giusto ?
Poi non ti seguo per il ragionamento finale.. se puoi spiegarmi meglio
Ti ringrazio
Mi dici che se $x^{2} \equiv 5 mod 6$ allora x^{2} \equiv 5 mod 3 ... questo perché $x^{2} = 6q + 5 = 3*2*q' + 5$ e quindi $x^{2} \equiv 5 mod 3 \equiv 2 mod 3$. Giusto ?
Poi non ti seguo per il ragionamento finale.. se puoi spiegarmi meglio
Ti ringrazio
Forse ho capito ....
Devo ragionare che ogni numero intero è congruo al suo resto $mod n$.
Quindi $x*x = x^{2} \equiv r*r mod 3$ in questo caso dove $r$ è il resto della divisione di $x$ per $3$ e può variare in ${0,1,2}$.
Se $r = 2$ avrei che $x^{2} \equiv 4 mod 3 \equiv 1mod 3$.... Quindi non esiste alcun numero intero che elevato al quadrato e diviso per $3$ restituisca resto $2$ .. Può andar bene così?
Devo ragionare che ogni numero intero è congruo al suo resto $mod n$.
Quindi $x*x = x^{2} \equiv r*r mod 3$ in questo caso dove $r$ è il resto della divisione di $x$ per $3$ e può variare in ${0,1,2}$.
Se $r = 2$ avrei che $x^{2} \equiv 4 mod 3 \equiv 1mod 3$.... Quindi non esiste alcun numero intero che elevato al quadrato e diviso per $3$ restituisca resto $2$ .. Può andar bene così?
Adesso sì.
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