Equazione
salve, l'esercizio è questo: trovare tutte le coppie di interi $(x,y)$ tali che:
$x^2+xy+y^2=7$
non riesco a capire come si faccia, c'è qualche modo di scomporre in modo utile la parte a sinistra?
$x^2+xy+y^2=7$
non riesco a capire come si faccia, c'è qualche modo di scomporre in modo utile la parte a sinistra?
Risposte
Salve blabla,
hai provato a vedere qui...
Cordiali saluti
"blabla":
salve, l'esercizio è questo: trovare tutte le coppie di interi $(x,y)$ tali che:
$x^2+xy+y^2=7$
non riesco a capire come si faccia, c'è qualche modo di scomporre in modo utile la parte a sinistra?
hai provato a vedere qui...
Cordiali saluti
grazie, ma quindi si cercano ""a naso"" le soluzioni intere? non c'è un modo algebrico per risolverlo?
Salve blabla,
ahahahaha...
sicuramente ci sarà un metodo algebrico, ma sinceramente non saprei cosa dirti in merito!! Aspettiamo la risposta di qualcun'altro!! 
Cordiali saluti
"blabla":
grazie, ma quindi si cercano ""a naso"" le soluzioni intere? non c'è un modo algebrico per risolverlo?
ahahahaha...
sicuramente ci sarà un metodo algebrico, ma sinceramente non saprei cosa dirti in merito!! Aspettiamo la risposta di qualcun'altro!! Cordiali saluti
Intanto, non può valere $x=0$ nè $y=0$ nè $x=y$ (banale)
Possiamo trovare una limitazione per $xy$:
Dato che $(x-y)^2+3xy=x^2+y^2-2xy+3xy= x^2+xy+y^2$, abbiamo
$(x-y)^2+3xy=7$, da cui $-3xy+7>=0$, cioè $xy<=7/3$ ( o meglio $xy<=2$).
Inoltre vale anche $(x+y)^2-xy=x^2+2xy+y^2-xy= x^2+xy+y^2$, per cui si ha
$(x+y)^2-xy=7$, da cui $xy+7>=0$, cioè $xy>= -7$.
Riassumendo, abbiamo trovato che deve valere $-7<=xy<=2$.
Ecco, ora possiamo fare i tentativi basandoci su questa cosa.
Notiamo subito che se $x$ e $y$ hanno stessa parità allora $xy=1 vv xy=2$.
La prima non ha soluzioni (perchè implicherebbe $x=y$), mentre la seconda sì:
ad esempio ${(x=2),(y=1):}$ va bene.
Se $x$ e $y$ hanno diversa parità, possiamo supporre che $x>0$ e $y<0$.
in questo caso possiamo fare la sostituzione $z= -y$ ottenendo $x^2-xz+z^2=7$ con ${(1<=xz<=7),(x>0),(z>0):}$ ecc.ecc.
Possiamo trovare una limitazione per $xy$:
Dato che $(x-y)^2+3xy=x^2+y^2-2xy+3xy= x^2+xy+y^2$, abbiamo
$(x-y)^2+3xy=7$, da cui $-3xy+7>=0$, cioè $xy<=7/3$ ( o meglio $xy<=2$).
Inoltre vale anche $(x+y)^2-xy=x^2+2xy+y^2-xy= x^2+xy+y^2$, per cui si ha
$(x+y)^2-xy=7$, da cui $xy+7>=0$, cioè $xy>= -7$.
Riassumendo, abbiamo trovato che deve valere $-7<=xy<=2$.
Ecco, ora possiamo fare i tentativi basandoci su questa cosa.
Notiamo subito che se $x$ e $y$ hanno stessa parità allora $xy=1 vv xy=2$.
La prima non ha soluzioni (perchè implicherebbe $x=y$), mentre la seconda sì:
ad esempio ${(x=2),(y=1):}$ va bene.
Se $x$ e $y$ hanno diversa parità, possiamo supporre che $x>0$ e $y<0$.
in questo caso possiamo fare la sostituzione $z= -y$ ottenendo $x^2-xz+z^2=7$ con ${(1<=xz<=7),(x>0),(z>0):}$ ecc.ecc.
$(x^2 +xy+ y^2/4) + 3y^2/4=7=> (2x+y)^2+ 3y^2=28$
Come vedi abbiamo la somma di due quadrati che fa 28. Quindi $y$ deve essere compreso tra $[-3,3] nn ZZ$, per simmetria basta studiare i casi positivi e otteniamo:
$y=0=> x^2=7=>x notin ZZ$
$y=1=> (2x+1)^2=25=> x=2,x=-3=> (-2,-1),(3,-1) \text{ et }(-3,1), (2,1)$
$y=2=> (2x+2)^2=16=> x=1,x=-3=> (-1,-2),(3,-2) \text{ et }(-3,2), (1,2)$
$y=3=> (2x+3)^2=1=> x=-1,x=-2 => (1,-3),(2,-3) \text{ et } (-2,3),(-1,3)$
In tutto sono 6
Come vedi abbiamo la somma di due quadrati che fa 28. Quindi $y$ deve essere compreso tra $[-3,3] nn ZZ$, per simmetria basta studiare i casi positivi e otteniamo:
$y=0=> x^2=7=>x notin ZZ$
$y=1=> (2x+1)^2=25=> x=2,x=-3=> (-2,-1),(3,-1) \text{ et }(-3,1), (2,1)$
$y=2=> (2x+2)^2=16=> x=1,x=-3=> (-1,-2),(3,-2) \text{ et }(-3,2), (1,2)$
$y=3=> (2x+3)^2=1=> x=-1,x=-2 => (1,-3),(2,-3) \text{ et } (-2,3),(-1,3)$
In tutto sono 6
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