Eq. biquadratiche
Ciao a tutti.
Probabilmente non è la sezione giusta, nel caso punitemi.
Qualcuno mi può linkare un posto dove sia discussa per bene l'equazione biquadratica?
In che ipotesi ha radici reali, quando coincidono..ecc.
Non è difficile, potrei farlo anche io, ma non ho voglia.
Grazie!
Probabilmente non è la sezione giusta, nel caso punitemi.
Qualcuno mi può linkare un posto dove sia discussa per bene l'equazione biquadratica?
In che ipotesi ha radici reali, quando coincidono..ecc.
Non è difficile, potrei farlo anche io, ma non ho voglia.
Grazie!
Risposte
Per biquadratica intendi una cosa del genere \(ax^4+bx^2+c=0\), immagino.
Beh, allora è tutto basato sull'analisi del discriminante e sulla regola di Cartesio... A meno di sviste, vale la tabella seguente.
Beh, allora è tutto basato sull'analisi del discriminante e sulla regola di Cartesio... A meno di sviste, vale la tabella seguente.
Ok. Grazie.
In realtà poi c'ho pensato, e l'ho fatto io.
Considero $x^4-2bx^2+a=0$. Voglio capire quando questa equazione ha sole radici reali, e quando queste non sono semplici (sto studiando l'iperbolicità di un'equazione).
Ha sole radici reali $<=>$ $b^2-a>=0$,$b>=0$,$a>=0$.
Ha radici reali semplici $<=>$ $b^2>a>0$.
Se $b^2-a=0$ ha due radici reali doppie
Se $a=0$ ha la radice $0$ con molteplicità $2$ e due radici semplici
Se $b=0$ allora $a=0$ e ha la radice $0$ con molteplicità $4$.
Gli altri casi sono contenuti in questi.
In realtà tutto poi m'è stato chiaro studiando la funzione $f(x)=x^4-2bx^2+a$. Essa ha critici in $0$ e in $\pm \alpha$. Insomma, le grandezze dei coefficienti servono solo a spostare questa "W" sopra o sotto, e cambiare conseguentemente gli zeri.
Però mi chiedevo se c'era una cosa già fatta. Vabè, male non mi fa fare esercizio.
Comunque Grazie Gugo!
In realtà poi c'ho pensato, e l'ho fatto io.
Considero $x^4-2bx^2+a=0$. Voglio capire quando questa equazione ha sole radici reali, e quando queste non sono semplici (sto studiando l'iperbolicità di un'equazione).
Ha sole radici reali $<=>$ $b^2-a>=0$,$b>=0$,$a>=0$.
Ha radici reali semplici $<=>$ $b^2>a>0$.
Se $b^2-a=0$ ha due radici reali doppie
Se $a=0$ ha la radice $0$ con molteplicità $2$ e due radici semplici
Se $b=0$ allora $a=0$ e ha la radice $0$ con molteplicità $4$.
Gli altri casi sono contenuti in questi.
In realtà tutto poi m'è stato chiaro studiando la funzione $f(x)=x^4-2bx^2+a$. Essa ha critici in $0$ e in $\pm \alpha$. Insomma, le grandezze dei coefficienti servono solo a spostare questa "W" sopra o sotto, e cambiare conseguentemente gli zeri.
Però mi chiedevo se c'era una cosa già fatta. Vabè, male non mi fa fare esercizio.
Comunque Grazie Gugo!
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