Epimorfismi di anelli

[anto_zoolander]

Ciao

siano $R,S$ anelli e $f:R->S$ un epimorfismo di anelli unitari

Se $1_R inKer(f)$ allora $S={1_R}$

La dimostrazione é breve ma non vorrei incappare in errori inutili

$f$ epimorfismo $=> f(1_R)=1_S$
$1_R inKer(f) => f(1_R)=0_S$

Ma allora $1_S=0_S=>S={1_S}$

Ovvero se in un epimorfismo di anelli il nucleo contiene l’unità del dominio, allora il codominio è l’anello zero.
Stavo leggendo sul fatto che in genere il nucleo non fosse un sottoanello unitario, e mi sono dimostrare il perché, ma volevo sapere se fosse corretta la dimostrazione.

[killing_buddha]

$f$ epimorfismo $=> f(1_R)=1_S$

ok...

$1_R inKer(f) => f(1_R)=0_S$

...ok...

Ma allora $1_S=0_S=>S={1_S}$

Beh, no, perché mai? Piuttosto, se $f$ manda $1$ in $0$ ed è un morfismo di anelli, $f(r)=f(r)f(1)=0$ e quindi vale costantemente zero. Questo ti basta a concludere?

[anto_zoolander]

La cosa è che: se in un anello lo zero e l’unità coincidono, allora l’anello è l’anello zero.
Da questo posso dedurre che se il codominio di un epimorfismo non è l’anello zero allora il nucleo necessariamente non contiene l’unitá e quindi non può essere sottoanello unitario.

Di fatto $1_R=0_R=>a=a*1_R=a*0_R=0_R=>R={0_R}$

Chiaramente questo vale per qualsiasi morfismo di anelli $R,S$ che verifica $f(1_R)=1_S$ e per cui $1_R inKer(f)$

[killing_buddha]

Ah, ora ho capito cosa hai scritto; sì, certo. Avevo in mente un'altra dimostrazione.

[anto_zoolander]

[ot]quegli esercizi sugli anelli li ho messi un attimo in standby che tra 28 giorni ho esame di fisica e algebra [/ot]

[killing_buddha]

Mi stai dicendo che vuoi esercizi di Fisica?

[anto_zoolander]

Mai.
La fisica non mi diverte, almeno fisica 1.