$End(C_2xxC_2)$

[stagna1]

come da oggetto vorrei trovare gli endomorfismi del gruppo trirettangolo. so che $ Aut(C_2xxC_2) ~= S_3 $, quindi ho 6 automorfismi. ci aggiungo poi l'endomorfismo banale che manda ogni elemento nell'identità e siamo a 7. per sfruttare il teorema fondamentale di isomorfismo e dato che per definizione un omomorfismo deve fissare l'unità, mi concentro sui sottogruppi normali propri di $(C_2xxC_2)$, che sono $ H_1={id,a}$, $H_2={id,b}$ e $H_3={id,c} $, essendo il trirettangolo abeliano. ora ho che $(C_2xxC_2)//H_i$ è isomorfo a $C_2$ e vedo 3 possibili endomorfismi. me ne vengono in totale 10, come per $S_3$. non sono convito del risultato perchè ovviamente $ (C_2xxC_2)!= S_3 $. cosa mi manca? grazie per l'aiuto.

[Studente Anonimo]

Se vedi [tex]C_2 \times C_2[/tex] come lo spazio vettoriale [tex]V[/tex] di dimensione 2 sul campo con 2 elementi [tex]\mathbb{F}_2[/tex], allora gli endomorfismi di [tex]V[/tex] come gruppo additivo sono esattamente i suoi endomorfismi come spazio vettoriale (dato che gli scalari sono somme di uni, l'additività implica automaticamente la compatibilità con la moltiplicazione per scalare). Questo ti suggerisce qualcosa?

[stagna1]

forse. tutte le matrici $ 2 xx 2 $ rappresentano un endomorfismo di $ C_2 xx C_2 $, quindi (in generale) il totale degli endomorfismi coincide con tutte le possibili matrici quadrate di dimensione $n$ a valori in $ ZZ_p $, che, se non sbaglio, sono $ p^(n^2) $. dunque nel mio caso arriviamo a $16$. se la matrice è invertibile allora ho un isomorfismo (automorfismo) e questo è il motivo per cui $ |Aut(C_p^n)| = |GL(n,p)| $ . è così?

ho una domanda: tutto questo è vero sse $ ZZ_p $ è un campo o vale sempre?

grazie.

[Studente Anonimo]

Giusto. E' vero sui campi finiti di ordine primo. Sui campi finiti in generale non è vero che l'additività implica la compatibilità con la moltiplicazione per scalare.

[stagna1]

ti ringrazio.

ho un'ultima domanda che è più una divagazione: in tutta questa faccenda $ SL(n,p) $ ha un qualche ruolo particolare? sinceramente non mi viene in mente nulla di più "speciale" di un automorfismo ma tutto può essere.

a buon rendere.

[Studente Anonimo]

Se p=2 allora SL(n,p) = GL(n,p), altrimenti non mi sento di dargli un ruolo particolare in questo contesto.

Prego