Elevamento a potenza in modulo

[paloppa]

Salve a tutt , mi trovo davanti questo esrcizio


\(\displaystyle 8^{10001} = 8 (mod11) \) ?? Si



Io ho ragionato in due modi, volevo sapere se nel secondo sbaglio dato che mi viene un risultato diverso.


Metodo 1)
Scompongo l'elevamento a potenza come somma di elevamento a potenza di 2.

Quindi procedo e dico
\(\displaystyle 8^1 = 8
8^2= 64 = 5 mod 11\)
ecc
ecc
\(\displaystyle 8^{8192} = 9 \)


Dopodichè faccio le somme delle potenze : \(\displaystyle 8^{10001} = 8^{8192} + 8^{1024} + 8^{512} + 8^{256} + 8^{16} + 8^1 = 9 * 4 * 9 * 3 * 3 * 8 = 23328 = 8 mod 11 \)


Metodo 2)


Per il piccolo teorema di fermat , io so che \(\displaystyle 8^{11} = 8 mod 11 \)
quindi di conseguenza\(\displaystyle 8^{11}^{909} = 8\) e dato che 11+909 fa 9999 , manca solo 2 a 10001 e quindi a 8 aggiungo un \(\displaystyle 8^2 \)

quindi \(\displaystyle 8^{11}^{909} * 8^2 = 8^{10001} \)


ma cosi non mi viene congruo a 8, cosa sbaglio??

[dan952]

Scrivi n^{1001} quando vuoi scrivere una potenza

[paloppa]

Cosi dovrebbe essere piu chiaro!!

[orsoulx]

"paloppa":Cosi dovrebbe essere piu chiaro!!

Mica tanto!!
$ 8^11 \equiv 8 $ ma $ 8^909 \equiv ?? $
Meglio usare $ 8^10 \equiv 1 $ e allora $ 1^1000 \equiv 1 $.....
Ciao
B.