Elencare i polinomi associati in una determinata classe
Ciao ragazzi , avrei un dubbio sullo svolgimento di questo esercizio , il testo dell'ese dice :
> Si elenchino i polinomi associati a (classe) 2x^2 + 1 in Z5[X].
Allora io leggendo la definizione di polinomio associato , dovrei trovarmi la 'a' che è un elemento invertibile cosi che tramite l'equazione congurenziale trovarmi il risultato , giusto ? Grazie per eventuali risposte.
> Si elenchino i polinomi associati a (classe) 2x^2 + 1 in Z5[X].
Allora io leggendo la definizione di polinomio associato , dovrei trovarmi la 'a' che è un elemento invertibile cosi che tramite l'equazione congurenziale trovarmi il risultato , giusto ? Grazie per eventuali risposte.
Risposte
In un dominio $D(+,*)$ con unità due elementi non nulli $a,b$ si dicono associati se $a|b$ e $b|a$ no?
$a=bk$ e $b=ah$ da cui $a=a(hk)$ pertanto $hk=1$
Questo significa che se due elementi sono associati allora gli elementi che li ‘associano’ sono invertibili.
Nei polinomi a coefficienti in un campo i polinomi invertibili sono quelli costanti pertanto due polinomi $P,Q$ sono associati se e solo se esiste un polinomio costante $C(x)=c$ tale che $P(x)=c*Q(x)$
Infatti se $P$ è di grado $n>0$ ed esiste un polinomio $Q$ di grado $m$ che lo ‘inverte’ allora $P(x)*Q(x)=1$ ma per definizione di grado di un polinomio i termini $p_n$ di $P$ e $q_m$ di $Q$ sono non nullo quindi essendo $p_n*q_m$ l’ultimo termine dovrà essere anche $p_n*q_n=0$ essendo uguale al polinomio identico, ma essendo entrambi non nulli questi non è possibile, quindi $P$ deve essere di grado $0$
Quindi i polinomi associati a $[2]x^2+[1] inZZ_5[x]$ sono tutti i polinomi $Q(x)=[c]*([2]x^2+[1])$ al variare di $[c] inZZ_5$
NB
Se $P(x) inZZ_5$ il polinomio in questione ha i coefficienti che sono classi di resto, ma il polinomio non è una classe in questo caso, a meno che non intendessi la classe di tutti i polinomi associati a $P$ allora si.
$a=bk$ e $b=ah$ da cui $a=a(hk)$ pertanto $hk=1$
Questo significa che se due elementi sono associati allora gli elementi che li ‘associano’ sono invertibili.
Nei polinomi a coefficienti in un campo i polinomi invertibili sono quelli costanti pertanto due polinomi $P,Q$ sono associati se e solo se esiste un polinomio costante $C(x)=c$ tale che $P(x)=c*Q(x)$
Infatti se $P$ è di grado $n>0$ ed esiste un polinomio $Q$ di grado $m$ che lo ‘inverte’ allora $P(x)*Q(x)=1$ ma per definizione di grado di un polinomio i termini $p_n$ di $P$ e $q_m$ di $Q$ sono non nullo quindi essendo $p_n*q_m$ l’ultimo termine dovrà essere anche $p_n*q_n=0$ essendo uguale al polinomio identico, ma essendo entrambi non nulli questi non è possibile, quindi $P$ deve essere di grado $0$
Quindi i polinomi associati a $[2]x^2+[1] inZZ_5[x]$ sono tutti i polinomi $Q(x)=[c]*([2]x^2+[1])$ al variare di $[c] inZZ_5$
NB
Se $P(x) inZZ_5$ il polinomio in questione ha i coefficienti che sono classi di resto, ma il polinomio non è una classe in questo caso, a meno che non intendessi la classe di tutti i polinomi associati a $P$ allora si.
Ciao anto_zoolander, prima cosa grazie per la risposta. In secondo mi trovo con quello che hai detto, però io so che per trovare la classe c , dovrei utilizzare una equazione congurenziale (ax=b(modm)), anche perchè proprio perchè c è un elemento invertibile so che si usa quella formula per trovarci la soluzione , oppure posso lasciare la tua come risposta ?
NB
non intendevo la classe di tutti i polinomi associati
NB
non intendevo la classe di tutti i polinomi associati
Beh al variare di $[c]$ i polinomi $[c]([2]x^2+[1])$ e $([2]x^2+[1])$ sono associati poiché chiaramente c’è $[c]$ che lì lega. Se ‘trovare’ $[c]$ intendi determinarla esplicitamente $[c]^(-1)$ basta e avanza.
Poi al limite puoi vedere di esplicitarla, considerando che in $ZZ_5$ si ha
$1^2=1$
$2^2=-1$
$3^2=-1$
$4^2=1$
L’inverso di $[c]$ sarà quindi $pm[c]$ chiaramente solo uno dei due
Per il resto, cosa intendevi?
Poi al limite puoi vedere di esplicitarla, considerando che in $ZZ_5$ si ha
$1^2=1$
$2^2=-1$
$3^2=-1$
$4^2=1$
L’inverso di $[c]$ sarà quindi $pm[c]$ chiaramente solo uno dei due
Per il resto, cosa intendevi?
penso proprio che mi hai risposto esplicitando la classe c , comunque in merito alla tua risposta
NB
Se P(x)∈Z5 il polinomio in questione ha i coefficienti che sono classi di resto, ma il polinomio non è una classe in questo caso, a meno che non intendessi la classe di tutti i polinomi associati a P allora si.
io ti ho risposto che non intendevo la classe di tutti i polinomi a P. Domani andrò dalla professoressa a fargli vedere il seguente esercizio , se mi dice qualcosa di diverso (o anche uno svolgimento diverso) lo pubblico cosi può darsi possa aiutare qualcun'altro. Anto zoolander gentilissimo veramente =D , GRAZIE.
NB
Se P(x)∈Z5 il polinomio in questione ha i coefficienti che sono classi di resto, ma il polinomio non è una classe in questo caso, a meno che non intendessi la classe di tutti i polinomi associati a P allora si.
io ti ho risposto che non intendevo la classe di tutti i polinomi a P. Domani andrò dalla professoressa a fargli vedere il seguente esercizio , se mi dice qualcosa di diverso (o anche uno svolgimento diverso) lo pubblico cosi può darsi possa aiutare qualcun'altro. Anto zoolander gentilissimo veramente =D , GRAZIE.