Elemento simmetrizzabile, cosa vuol dire?
Salve a tutti sto studiando la teoria dei gruppi, e sono incappato nella parola simmetrizzabile ma sinceramente non so cosa significa.
Ad esempio
Dato un elemento $ x in G $, si chiama elemento simmetrico di x un elemento $ x' in G $ tale che x*x' = u.
In realtà cosa sta a significare?
Ad esempio
Dato un elemento $ x in G $, si chiama elemento simmetrico di x un elemento $ x' in G $ tale che x*x' = u.
In realtà cosa sta a significare?
Risposte
Potresti leggerlo anche come invertibile...
Ti ringrazio per la risposta, infatti seguitando nella lettura lo dice chiaramente.
Infatti se l'operazione del gruppoide è la somma il simmetrico di $ x in G $ è -x, se invece l'operazione è il prodotto il simmetrico di x è $ 1/x $.
Già che ci sono se nel libro trovo scritto
" Sia G un monoide la cui operazione è denotata moltiplicativamente " è equivalente a (G, *)?
Cioè che l'operazione del gruppo è la moltiplicazione?
Infatti se l'operazione del gruppoide è la somma il simmetrico di $ x in G $ è -x, se invece l'operazione è il prodotto il simmetrico di x è $ 1/x $.
Già che ci sono se nel libro trovo scritto
" Sia G un monoide la cui operazione è denotata moltiplicativamente " è equivalente a (G, *)?
Cioè che l'operazione del gruppo è la moltiplicazione?
"wino_7":Quella frase serve solo a chiarire la notazione. L'operazione in un *semigruppo/monoide/gruppo/qualsiasi struttura dotata di operazione* è intrinseca, poi tu la puoi chiamare come vuoi: [tex]\ast,\ \cdot,\ +,\ \sim[/tex]. Lì ti sta solo dicendo che la chiamerà [tex]\cdot[/tex].
Già che ci sono se nel libro trovo scritto
" Sia G un monoide la cui operazione è denotata moltiplicativamente " è equivalente a (G, *)?
Cioè che l'operazione del gruppo è la moltiplicazione?
Sperando di non confonderti ti segnalo anche questo (vedi le risposte mia e di gugo).
Salve,
un elemento dicesi simmetrizzabile se ammette simmetrico rispetto ad una legge di composizione.
Cordiali saluti
un elemento dicesi simmetrizzabile se ammette simmetrico rispetto ad una legge di composizione.
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve,
un elemento dicesi simmetrizzabile se ammette simmetrico rispetto ad una legge di composizione.
Cordiali saluti
Se non sa cosa vuol dire simmetrizzabile cosa ti fa pensare che sappia cos'è il simmetrico rispetto ad una legge di composizione? Comunque sono entrambi termini che ho sentito usare poco.
Salve,
data la mia tanto criticata delucidazione preferisco, per eliminare equivoci, fornire la definizione di elemento simmetrico:
Def.:Sia $ A $ un insieme generico diverso dall'insieme vuoto, $ A = O/ $, ed $ f $ una legge di composizione interna binaria ovunque definita sull'insieme generico $A$ che ammette al più un elemento neutro $einA$ rispetto alla legge di composizione interna binaria $f$ ovunque definita sull'insieme generico $A$ , dicesi che un elemnto $ x in A $ ammette simmetrico $hatx in A $ rispetto alla legge di composizione interna binaria $f$ ovunque definita sull'insieme generico $A$, oppure che un elemento $hatx in A $ è simmetrico di un elemento $ x in A $ rispetto alla legge di composizione interna binaria $f$ ovunque definita sull'insieme generico $A$, se: $xfhatx=hatxfx=e $.
Cordiali saluti
p.s.= non si faccia caso alla ripetizione ridondante di certe porzioni di frasi. Ribadisco che il creatore del topic voleva la definizione di simmetrizzabile e non di simmetrico, come lo attesa il titolo; che ci posso fare se costui è più confuso che persuaso.
data la mia tanto criticata delucidazione preferisco, per eliminare equivoci, fornire la definizione di elemento simmetrico:
Def.:Sia $ A $ un insieme generico diverso dall'insieme vuoto, $ A = O/ $, ed $ f $ una legge di composizione interna binaria ovunque definita sull'insieme generico $A$ che ammette al più un elemento neutro $einA$ rispetto alla legge di composizione interna binaria $f$ ovunque definita sull'insieme generico $A$ , dicesi che un elemnto $ x in A $ ammette simmetrico $hatx in A $ rispetto alla legge di composizione interna binaria $f$ ovunque definita sull'insieme generico $A$, oppure che un elemento $hatx in A $ è simmetrico di un elemento $ x in A $ rispetto alla legge di composizione interna binaria $f$ ovunque definita sull'insieme generico $A$, se: $xfhatx=hatxfx=e $.
Cordiali saluti
p.s.= non si faccia caso alla ripetizione ridondante di certe porzioni di frasi. Ribadisco che il creatore del topic voleva la definizione di simmetrizzabile e non di simmetrico, come lo attesa il titolo; che ci posso fare se costui è più confuso che persuaso.
Semplicemente è un invertibile per il quale esiste un y tale che x*y=y*x=u , detto u elemento neutro della tua struttura !!! 
Propongo una riflessione!
Sia [tex]A[/tex] un insieme dotato di una operazione interna binaria [tex]\ast: A \times A \to A[/tex] - nel seguito se [tex]a,b \in A[/tex] allora [tex]\ast(a,b)[/tex] verrà indicato con [tex]a \ast b[/tex]. Consideriamo le seguenti proprietà:
(1) associatività: per ogni [tex]a,b,c \in A[/tex] si ha [tex](a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)[/tex];
(2) esistenza elemento neutro a destra: esiste un elemento [tex]d \in A[/tex] con la proprietà che [tex]a \ast d = a[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex];
(3) esistenza elemento neutro a sinistra: esiste un elemento [tex]s \in A[/tex] con la proprietà che [tex]s \ast a = a[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex];
(4) esistenza inverso a destra: detto [tex]e[/tex] un elemento neutro a destra o a sinistra, per ogni [tex]a \in A[/tex] esiste [tex]b \in A[/tex] (detto "inverso a destra" di [tex]a[/tex]) tale che [tex]a \ast b=e[/tex].
(5) esistenza inverso a sinistra: detto [tex]e[/tex] un elemento neutro a destra o a sinistra, per ogni [tex]a \in A[/tex] esiste [tex]c \in A[/tex] (detto "inverso a sinistra" di [tex]a[/tex]) tale che [tex]c \ast a=e[/tex].
Mostrare che
- Se valgono 1,2,4,5 allora vale 3, e se valgono 1,3,4,5 allora vale 2.
- Se valgono 1,2,3,4 allora vale 5, e se valgono 1,2,3,5 allora vale 4.
Naturalmente gli elementi neutri in 4 e in 5 sono quelli che esistono avendo supposto valevole 2 oppure 3 (osservo che se 2 e 3 valgono allora [tex]d=s[/tex]).
Qual è il numero massimo di proprietà ridondanti? Per esempio, è vero che 1,2,4 (valevoli contemporaneamente) implicano 3 e 5? O che 1,2,5 (valevoli contemporaneamente) implicano 3 e 4? O che 1,3,4 (valevoli contemporaneamente) implicano 2 e 5? O che 1,3,5 (valevoli contemporaneamente) implicano 2 e 4?
Poi, è vero che 1 e 2 insieme implicano 3, o che 1 e 3 insieme implicano 2? (non credo).
Boh
Sia [tex]A[/tex] un insieme dotato di una operazione interna binaria [tex]\ast: A \times A \to A[/tex] - nel seguito se [tex]a,b \in A[/tex] allora [tex]\ast(a,b)[/tex] verrà indicato con [tex]a \ast b[/tex]. Consideriamo le seguenti proprietà:
(1) associatività: per ogni [tex]a,b,c \in A[/tex] si ha [tex](a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)[/tex];
(2) esistenza elemento neutro a destra: esiste un elemento [tex]d \in A[/tex] con la proprietà che [tex]a \ast d = a[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex];
(3) esistenza elemento neutro a sinistra: esiste un elemento [tex]s \in A[/tex] con la proprietà che [tex]s \ast a = a[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex];
(4) esistenza inverso a destra: detto [tex]e[/tex] un elemento neutro a destra o a sinistra, per ogni [tex]a \in A[/tex] esiste [tex]b \in A[/tex] (detto "inverso a destra" di [tex]a[/tex]) tale che [tex]a \ast b=e[/tex].
(5) esistenza inverso a sinistra: detto [tex]e[/tex] un elemento neutro a destra o a sinistra, per ogni [tex]a \in A[/tex] esiste [tex]c \in A[/tex] (detto "inverso a sinistra" di [tex]a[/tex]) tale che [tex]c \ast a=e[/tex].
Mostrare che
- Se valgono 1,2,4,5 allora vale 3, e se valgono 1,3,4,5 allora vale 2.
- Se valgono 1,2,3,4 allora vale 5, e se valgono 1,2,3,5 allora vale 4.
Naturalmente gli elementi neutri in 4 e in 5 sono quelli che esistono avendo supposto valevole 2 oppure 3 (osservo che se 2 e 3 valgono allora [tex]d=s[/tex]).
Qual è il numero massimo di proprietà ridondanti? Per esempio, è vero che 1,2,4 (valevoli contemporaneamente) implicano 3 e 5? O che 1,2,5 (valevoli contemporaneamente) implicano 3 e 4? O che 1,3,4 (valevoli contemporaneamente) implicano 2 e 5? O che 1,3,5 (valevoli contemporaneamente) implicano 2 e 4?
Poi, è vero che 1 e 2 insieme implicano 3, o che 1 e 3 insieme implicano 2? (non credo).
Boh
Salve Martino,
la tua riflessione a me sembrerebbe più una presentazione delle varie definizioni della struttura algebrica gruppo; se vuoi avere le dimostrazioni, siccome io sono afflitto, momentaneamente, da un enorme tedio nello scriverle con ASCIIMathML, le trovi sul libro "Istituzioni di algebra astratta" di Lucio Lombardo-Radice.
Cordiali saluti
la tua riflessione a me sembrerebbe più una presentazione delle varie definizioni della struttura algebrica gruppo; se vuoi avere le dimostrazioni, siccome io sono afflitto, momentaneamente, da un enorme tedio nello scriverle con ASCIIMathML, le trovi sul libro "Istituzioni di algebra astratta" di Lucio Lombardo-Radice.
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve Martino,
la tua riflessione a me sembrerebbe più una presentazione delle varie definizioni della struttura algebrica gruppo; se vuoi avere le dimostrazioni, siccome io sono afflitto, momentaneamente, da un enorme tedio nello scriverle con ASCIIMathML, le trovi sul libro "Istituzioni di algebra astratta" di Lucio Lombardo Radice.
Cordiali saluti
Ti invito a leggere ed interpretare i messaggi degli altri. Martino è un moderatore di questa sezione, un dottorando in teoria dei gruppi e ha scritto delle dispense sull'argomento il cui link è messo sopra. Le sue erano precisazioni, le dimostrazioni le conosce già.
Dai, andava bene così 
comunque delle domande che ho fatto non conosco la risposta, posso solo indovinare che sia "no".
comunque delle domande che ho fatto non conosco la risposta, posso solo indovinare che sia "no".
"Martino":
Poi, è vero che 1 e 2 insieme implicano 3, o che 1 e 3 insieme implicano 2? (non credo).
Boh
Sono abbastanza convinto che sia no. Perso che possa esistere un esempio semplice con 4-5 elementi ma non penso che sia facilissimo crearlo.
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