Elemento Primo, definizione ed esempi
Salve a tutti,
sto rispolverando alcuni concetti di Algebra quando ad un certo punto non mi sono ritrovato nella definizione di elemento primo.
Testualmente la definizione riporta:
Sia $(A,+,*)$ un Dominio di Integrità. Un elemento $a in A$ diverso da $0$ e non-invertibile è detto $primo$ se $a|xy$ allora $a|x$ oppure $a|y$, ovviamente con $x,y in A$.
Ora supponiamo di trovarci in $Z$ che è un D.I. sappiamo che in $Z$ la definizione di elemento irriducibile e quella di elemento primo coincidono. Facciamo un esempio sia $6 in Z$ chiaramente $6$ è esprimibile come $3*2$ cioè $6$ è riducibile essendo prodotto di due fattori per cui nessuno dei due è una unità (nel senso di elemento invertibile). Pertanto se in $Z$ le due definizioni coincidono $6$ non dovrebbe essere neppure primo.
Eppure per esempio $6$ è non-invertibile in $Z$, inoltre $6|(12*4)$ e $6|12$ cioè $6$ soddisfa i requisiti della definizione di elemento $primo$.
Non sto riuscendo a capire quale sia l'errore logico che commetto.
Se qualcuno è così gentile da aiutarmi.
Grazie in anticipo.
sto rispolverando alcuni concetti di Algebra quando ad un certo punto non mi sono ritrovato nella definizione di elemento primo.
Testualmente la definizione riporta:
Sia $(A,+,*)$ un Dominio di Integrità. Un elemento $a in A$ diverso da $0$ e non-invertibile è detto $primo$ se $a|xy$ allora $a|x$ oppure $a|y$, ovviamente con $x,y in A$.
Ora supponiamo di trovarci in $Z$ che è un D.I. sappiamo che in $Z$ la definizione di elemento irriducibile e quella di elemento primo coincidono. Facciamo un esempio sia $6 in Z$ chiaramente $6$ è esprimibile come $3*2$ cioè $6$ è riducibile essendo prodotto di due fattori per cui nessuno dei due è una unità (nel senso di elemento invertibile). Pertanto se in $Z$ le due definizioni coincidono $6$ non dovrebbe essere neppure primo.
Eppure per esempio $6$ è non-invertibile in $Z$, inoltre $6|(12*4)$ e $6|12$ cioè $6$ soddisfa i requisiti della definizione di elemento $primo$.
Non sto riuscendo a capire quale sia l'errore logico che commetto.
Se qualcuno è così gentile da aiutarmi.
Grazie in anticipo.
Risposte
$6$ divide $12 * 4$ giusto, ma se scrivi $12*4$ come $3*16$ osserva che $6$ non divide $3$ né $16$.
L'errore logico è che nella tua definizione di elemento primo manca un quantificatore, "per ogni $x,y$".
L'errore logico è che nella tua definizione di elemento primo manca un quantificatore, "per ogni $x,y$".
"Martino":
$6$ divide $12 * 4$ giusto, ma se scrivi $12*4$ come $3*16$ osserva che $6$ non divide $3$ né $16$.
L'errore logico è che nella tua definizione di elemento primo manca un quantificatore, "per ogni $x,y$".
Intanto grazie.
La tua spiegazione è stata perfetta ed esaustiva.
Ad essere però sinceri è "scandaloso" che io abbia trovato quella definizione in diversi paper di prestigiose università italiane ed anche su diversi link di wikipedia, senza che fosse specificato quel quantificatore
E se volessimo essere "pignoli" dove con pignoli intendo che quella definizione non sia diversamente interpretata farei in modo che per quel "ogni" "a" e "b" sia interpretato nel modo corretto cioè inteso come ogni possibile combinazione di fattori che ritornano il prodotto "ab", diversamente potrebbe essere inteso come per ogni prodotto "a*b" a prescindere dal risultato che invece vogliamo sia proprio "ab".
Grazie ancora.
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