Elemento primitivo

[lilly201]

Ciao ragazzi! devo risolvere questo esercizio:
Si calcolino le radici ottave dell'unità $z_0, z_1, ...z_7 in CC$ e si trovi un elemento primitivo di $ QQ sub QQ_8$, sove $QQ_8$ è il campo di spezzamento di $x^8-1$ su $QQ$.
Allora la prima parte dell'esercizio è semplice, sono $ z_k= cos((pi*k)/4)+isen((pi*k)/4)$,mentre sono bloccata per la seconda. Come posso fare? Grazie.

[maurer]

Qui è molto semplice... non serve nemmeno scomodare l'apparato della teoria di Galois. Le radici ottave dell'unità formano un gruppo e questo gruppo è ...

[lilly201]

ciclico..

[maurer]

Esattamente, quindi...

[lilly201]

non riesco a concludere il ragionamento! è proprio da qui che sono bloccata...

[maurer]

Beh, un gruppo ciclico ha un generatore no? E se un campo contiene un elemento, allora ne contiene anche tutte le potenze. Quindi se aggiungiamo un generatore, otteniamo tutti gli altri elementi, che in questo caso sono le radici cercate! Quindi, se 2 + 2 = 4, il campo di spezzamento di [tex]x^8-1[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] è [tex]\mathbb{Q}(\zeta)[/tex] dove [tex]\zeta[/tex] è un generatore del gruppo considerato.
Ti torna?

[lilly201]

quindi da questo ragionamento un elemento primitivo è uno qualsiasi degli otto $z_k$?

[maurer]

"lilly20":quindi da questo ragionamento un elemento primitivo è uno qualsiasi degli otto $z_k$?

"maurer":[...] il campo di spezzamento di [tex]x^8 - 1[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] è [tex]\mathbb{Q}(\zeta)[/tex] dove [tex]\zeta[/tex] è un generatore del gruppo considerato.

Ora, se [tex]C_n[/tex] è un gruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex], mi sapresti dire quanti sono i suoi generatori?

[lilly201]

ehm... forse n?

[maurer]

No... Non è proprio possibile che siano tutti generatori. Ad esempio, l'unità ha periodo sempre pari a 1!
Ti invito a dimostrare il seguente risultato (e a ricordarlo, che spesso torna utile!)

Proposizione. Sia [tex]C_n = \langle g \rangle[/tex] il gruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex]. Allora il periodo di [tex]g^k[/tex] è [tex]\frac{n}{\text{gcd}(n,k)}[/tex], dove [tex]\text{gcd}(a,b)[/tex] è il massimo comun divisore tra due interi.
[/list:u:4yqmvsgd]

Come conseguenza immediata otteniamo che se [tex]g[/tex] è un generatore di [tex]C_n[/tex] allora tutti e soli gli altri generatori sono [tex]g^k[/tex] dove [tex]\text{gcd}(k,n) = 1[/tex]. Si conclude quindi che ci sono [tex]\varphi(n)[/tex] generatori, dove [tex]\varphi(\cdot)[/tex] è la funzione totiente di Eulero.
Nell'ambito delle radici n-esime dell'unità si chiamano radici n-esime primitive le radici che generano tutte le altre.

Quindi, nel tuo caso, qual è un elemento primitivo dell'estensione?

[lilly201]

allora potrebbe essere $z_1$!

[maurer]

Sì, ma sai anche spiegarmi perché?

P.S. Forse la notazione esponenziale dei numeri complessi potrebbe risultare più facile a maneggiarsi, in questo caso...

[lilly201]

perchè $z_1=cos(pi/4)+isen(pi/4)$ e e da $z_1$ otteniamo tutte le altre radici!